Номер 854, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 854, страница 215.

Условие.

854 В равнобедренном треугольнике $ABC$ из середины $D$ основания $AC$ проведён перпендикуляр $DH$ к стороне $BC$. Пусть $M$ — середина отрезка $DH$. Докажите, что $BM \perp AH$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся методом координат.

1. Введем систему координат.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его высота $BD$ является также медианой. Поместим начало координат в точку $D$ — середину основания $AC$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль прямой $AC$, а ось ординат ($Oy$) — вдоль прямой $BD$. В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $D(0; 0)$
• Пусть $AD = DC = a$, где $a > 0$. Тогда $A(-a; 0)$ и $C(a; 0)$.
• Пусть длина высоты $BD$ равна $b$, где $b > 0$. Тогда $B(0; b)$.

2. Найдем координаты точки H.

Точка $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на сторону $BC$. Следовательно, $H$ — это точка пересечения прямой $BC$ и прямой $DH$, перпендикулярной $BC$.

Сначала найдем уравнение прямой $BC$. Эта прямая проходит через точки $B(0; b)$ и $C(a; 0)$.
Угловой коэффициент прямой $BC$: $k_{BC} = \frac{0 - b}{a - 0} = -\frac{b}{a}$.
Уравнение прямой $BC$ (с угловым коэффициентом и точкой $B$): $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$, что равносильно $y = -\frac{b}{a}x + b$.

Теперь найдем уравнение прямой $DH$. Эта прямая проходит через начало координат $D(0; 0)$ и перпендикулярна прямой $BC$.
Условие перпендикулярности прямых: $k_{DH} \cdot k_{BC} = -1$.
Отсюда угловой коэффициент прямой $DH$: $k_{DH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{-b/a} = \frac{a}{b}$.
Уравнение прямой $DH$: $y = \frac{a}{b}x$.

Чтобы найти координаты точки $H(x_H; y_H)$, решим систему уравнений для прямых $BC$ и $DH$:$$ \begin{cases} y = -\frac{b}{a}x + b \\ y = \frac{a}{b}x \end{cases} $$Приравняем правые части:$$ \frac{a}{b}x = -\frac{b}{a}x + b $$$$ \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)x = b $$$$ \left(\frac{a^2 + b^2}{ab}\right)x = b $$$$ x_H = \frac{ab^2}{a^2 + b^2} $$Теперь найдем $y_H$:$$ y_H = \frac{a}{b}x_H = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b}{a^2 + b^2} $$Таким образом, координаты точки $H$: $H\left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2}; \frac{a^2b}{a^2 + b^2}\right)$.

3. Найдем координаты точки M.

По условию, $M$ — середина отрезка $DH$. Используем формулу координат середины отрезка для точек $D(0; 0)$ и $H(x_H; y_H)$:
$x_M = \frac{0 + x_H}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{ab^2}{2(a^2 + b^2)}$
$y_M = \frac{0 + y_H}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2b}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b}{2(a^2 + b^2)}$
Координаты точки $M$: $M\left(\frac{ab^2}{2(a^2 + b^2)}; \frac{a^2b}{2(a^2 + b^2)}\right)$.

4. Докажем перпендикулярность прямых BM и AH.

Для этого найдем их угловые коэффициенты $k_{BM}$ и $k_{AH}$ и покажем, что их произведение равно $-1$.

Найдем угловой коэффициент прямой $AH$, проходящей через точки $A(-a; 0)$ и $H\left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2}; \frac{a^2b}{a^2 + b^2}\right)$:$$ k_{AH} = \frac{y_H - y_A}{x_H - x_A} = \frac{\frac{a^2b}{a^2 + b^2} - 0}{\frac{ab^2}{a^2 + b^2} - (-a)} = \frac{\frac{a^2b}{a^2 + b^2}}{\frac{ab^2 + a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}} = \frac{a^2b}{ab^2 + a^3 + ab^2} = \frac{a^2b}{a^3 + 2ab^2} $$Сократив на $a$:$$ k_{AH} = \frac{ab}{a^2 + 2b^2} $$

Найдем угловой коэффициент прямой $BM$, проходящей через точки $B(0; b)$ и $M\left(\frac{ab^2}{2(a^2 + b^2)}; \frac{a^2b}{2(a^2 + b^2)}\right)$:$$ k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{\frac{a^2b}{2(a^2 + b^2)} - b}{\frac{ab^2}{2(a^2 + b^2)} - 0} = \frac{\frac{a^2b - 2b(a^2 + b^2)}{2(a^2 + b^2)}}{\frac{ab^2}{2(a^2 + b^2)}} = \frac{a^2b - 2a^2b - 2b^3}{ab^2} = \frac{-a^2b - 2b^3}{ab^2} $$Вынесем $-b$ в числителе:$$ k_{BM} = \frac{-b(a^2 + 2b^2)}{ab^2} = -\frac{a^2 + 2b^2}{ab} $$

Теперь найдем произведение угловых коэффициентов:$$ k_{AH} \cdot k_{BM} = \left(\frac{ab}{a^2 + 2b^2}\right) \cdot \left(-\frac{a^2 + 2b^2}{ab}\right) = -1 $$Поскольку произведение угловых коэффициентов прямых $AH$ и $BM$ равно $-1$, эти прямые перпендикулярны.

Ответ: Доказано, что $BM \perp AH$.