Номер 861, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 861, страница 215.

Условие.

861 Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Треугольник $ABO$, где $AB$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $OA$, $OD$ и $BC$, равносторонний.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть в трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Основания трапеции — $AB$ и $CD$. По условию, треугольник $ABO$ является равносторонним. Обозначим точки $M, N, K$ как середины отрезков $OA, OD$ и $BC$ соответственно. Нам нужно доказать, что треугольник $MNK$ является равносторонним.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CDO$. Так как $ABCD$ — трапеция, ее основания $AB$ и $CD$ параллельны ($AB || CD$). Тогда углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB, CD$ и секущей $AC$. Аналогично, $\angle OBA = \angle ODC$ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $BD$. Следовательно, треугольники $ABO$ и $CDO$ подобны по двум углам ($\triangle ABO \sim \triangle CDO$).

2. По условию, $\triangle ABO$ — равносторонний. Это значит, что все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Пусть сторона этого треугольника равна $a$, то есть $OA = OB = AB = a$.

3. Из подобия треугольников $ABO$ и $CDO$ следует пропорциональность их сторон: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$. Поскольку $OA = OB = a$, мы получаем $\frac{a}{OC} = \frac{a}{OD}$, откуда следует, что $OC = OD$. Так как углы $\triangle CDO$ равны соответствующим углам $\triangle ABO$, то $\triangle CDO$ также является равносторонним. Обозначим длину его стороны как $b$, то есть $OC = OD = CD = b$.

4. Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$.

• Стороны $OA = OB = a$.
• Стороны $OD = OC = b$.
• Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными по отношению к углам $\angle COD$ и $\angle AOB$, но это не так. Они смежные с ними. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальные и равны $60^\circ$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ также вертикальные и равны между собой: $\angle AOD = \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, $\triangle AOD \cong \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними (признак СУС). Из конгруэнтности следует равенство их третьих сторон: $AD = BC$.

5. Теперь найдем длины сторон треугольника $MNK$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

Сторона MN:
В $\triangle AOD$ точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $OA$ и $OD$. Следовательно, $MN$ — это средняя линия $\triangle AOD$. $MN = \frac{1}{2}AD$. Найдем квадрат длины стороны $AD$ по теореме косинусов для $\triangle AOD$: $AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \cdot OA \cdot OD \cdot \cos(\angle AOD)$ $AD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = a^2 + b^2 - 2ab(-\frac{1}{2}) = a^2 + b^2 + ab$. Тогда квадрат длины $MN$ равен: $MN^2 = (\frac{1}{2}AD)^2 = \frac{1}{4}AD^2 = \frac{a^2 + b^2 + ab}{4}$.

Сторона MK:
Найдем длину $MK$ из $\triangle OMK$ по теореме косинусов: $MK^2 = OM^2 + OK^2 - 2 \cdot OM \cdot OK \cdot \cos(\angle MOK)$.

• $OM = \frac{1}{2}OA = \frac{a}{2}$.
• $OK$ — медиана в $\triangle BOC$. Длину медианы можно найти по формуле: $OK^2 = \frac{2(OB^2+OC^2)-BC^2}{4}$. Так как $BC^2 = AD^2 = a^2+b^2+ab$, получаем: $OK^2 = \frac{2(a^2+b^2) - (a^2+b^2+ab)}{4} = \frac{a^2+b^2-ab}{4}$.
• Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle MOK = \angle AOK$. Найдем косинус этого угла из $\triangle AOK$ по теореме косинусов: $AK^2 = OA^2+OK^2 - 2 \cdot OA \cdot OK \cdot \cos(\angle AOK)$. $AK$ — медиана в $\triangle ABC$, ее квадрат длины: $AK^2 = \frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4} = \frac{2(a^2+(a+b)^2)-(a^2+b^2+ab)}{4} = \frac{3a^2+b^2+3ab}{4}$. Подставляя известные величины: $\frac{3a^2+b^2+3ab}{4} = a^2 + \frac{a^2+b^2-ab}{4} - 2a\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{4}} \cos(\angle AOK)$. Из этого уравнения находим $\cos(\angle AOK) = \frac{a-2b}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}$.

Теперь вычисляем $MK^2$: $MK^2 = (\frac{a}{2})^2 + \frac{a^2+b^2-ab}{4} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{4}} \cdot \frac{a-2b}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}$ $MK^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2+b^2-ab}{4} - \frac{a(a-2b)}{4} = \frac{a^2+a^2+b^2-ab - a^2+2ab}{4} = \frac{a^2+b^2+ab}{4}$.

Сторона NK:
Аналогично найдем $NK^2$ из $\triangle ONK$ по теореме косинусов: $NK^2 = ON^2 + OK^2 - 2 \cdot ON \cdot OK \cdot \cos(\angle NOK)$.

• $ON = \frac{1}{2}OD = \frac{b}{2}$.
• $OK^2 = \frac{a^2+b^2-ab}{4}$ (уже нашли).
• Точки $B, O, D$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle NOK = \angle DOK$. Найдем $\cos(\angle DOK)$ из $\triangle DOK$. $DK$ — медиана в $\triangle BCD$, ее квадрат длины: $DK^2 = \frac{2(CD^2+BD^2)-BC^2}{4} = \frac{2(b^2+(a+b)^2)-(a^2+b^2+ab)}{4} = \frac{a^2+3b^2+3ab}{4}$. Из теоремы косинусов для $\triangle DOK$: $DK^2 = OD^2+OK^2 - 2 \cdot OD \cdot OK \cdot \cos(\angle DOK)$, откуда $\cos(\angle DOK) = \frac{b-2a}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}$.

Вычисляем $NK^2$: $NK^2 = (\frac{b}{2})^2 + \frac{a^2+b^2-ab}{4} - 2 \cdot \frac{b}{2} \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{4}} \cdot \frac{b-2a}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}$ $NK^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{a^2+b^2-ab}{4} - \frac{b(b-2a)}{4} = \frac{b^2+a^2+b^2-ab - b^2+2ab}{4} = \frac{a^2+b^2+ab}{4}$.

Мы получили, что $MN^2 = MK^2 = NK^2 = \frac{a^2+b^2+ab}{4}$. Следовательно, длины сторон $MN, MK, NK$ равны. Таким образом, треугольник $MNK$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $OA, OD$ и $BC$, является равносторонним.