Номер 856, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 856, страница 215.

Условие.

856 Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $\angle ADP = \frac{1}{2}\angle PDC$, $\angle ADP = \frac{2}{3}\angle PAD$ и $AD = BD = CD$.

а) Найдите все углы четырёхугольника.

б) Докажите, что $AB^2 = BP \cdot BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

a)

Пусть $\angle ADP = \alpha$. Из условий задачи следует:

1. $\angle PDC = 2 \angle ADP = 2\alpha$. Тогда $\angle ADC = \angle ADP + \angle PDC = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$.

2. $\angle PAD = \frac{3}{2} \angle ADP = \frac{3}{2}\alpha$.

Рассмотрим $\triangle ADC$. По условию $AD = CD$, следовательно, $\triangle ADC$ является равнобедренным. Углы при основании равны: $\angle ACD = \angle CAD = \angle PAD = \frac{3}{2}\alpha$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ADC$ равна $180^\circ$:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$\frac{3}{2}\alpha + \frac{3}{2}\alpha + 3\alpha = 180^\circ$

$3\alpha + 3\alpha = 180^\circ$

$6\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь мы можем найти значения некоторых углов:

• $\angle ADC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
• $\angle CAD = \angle ACD = \frac{3}{2}\alpha = \frac{3}{2} \cdot 30^\circ = 45^\circ$
• $\angle PDC = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
• $\angle ADP = \alpha = 30^\circ$

Рассмотрим $\triangle BCD$. По условию $BD = CD$, следовательно, он равнобедренный с основанием $BC$. Угол при вершине $\angle BDC = \angle PDC = 60^\circ$. Углы при основании равны: $\angle DBC = \angle BCD$.

Сумма углов в $\triangle BCD$ равна $180^\circ$:

$\angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$

$2\angle BCD + 60^\circ = 180^\circ \implies 2\angle BCD = 120^\circ \implies \angle BCD = 60^\circ$.

Поскольку все углы $\triangle BCD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Таким образом, $\angle DBC = 60^\circ$ и $\angle BCD = 60^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABD$. По условию $AD = BD$, следовательно, он равнобедренный с основанием $AB$. Угол при вершине $\angle ADB = \angle ADP = 30^\circ$. Углы при основании равны: $\angle BAD = \angle ABD$.

Сумма углов в $\triangle ABD$ равна $180^\circ$:

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$2\angle BAD + 30^\circ = 180^\circ \implies 2\angle BAD = 150^\circ \implies \angle BAD = 75^\circ$.

Следовательно, $\angle ABD = 75^\circ$.

Теперь найдем все углы четырехугольника $ABCD$:

• $\angle A = \angle DAB = 75^\circ$.
• $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 75^\circ + 60^\circ = 135^\circ$.
• $\angle C = \angle BCD = 60^\circ$.
• $\angle D = \angle ADC = 90^\circ$.

Проверим сумму углов: $75^\circ + 135^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Углы четырехугольника $ABCD$: $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 135^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle D = 90^\circ$.

б)

Требуется доказать, что $AB^2 = BP \cdot BD$. Такое равенство обычно следует из подобия треугольников. Перепишем его в виде пропорции: $\frac{AB}{BP} = \frac{BD}{AB}$. Эта пропорция связывает стороны треугольников $\triangle ABP$ и $\triangle DBA$. Докажем их подобие.

Найдем углы $\triangle ABP$:

• $\angle PAB = \angle DAB - \angle DAC = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.
• $\angle PBA = \angle DBA = 75^\circ$.
• $\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ$.

Углы $\triangle ABP$ равны $30^\circ, 75^\circ, 75^\circ$.

Углы $\triangle DBA$ мы уже нашли в пункте а):

• $\angle DAB = 75^\circ$.
• $\angle DBA = 75^\circ$.
• $\angle BDA = 30^\circ$.

Так как наборы углов треугольников $\triangle ABP$ и $\triangle DBA$ совпадают, эти треугольники подобны по трем углам. Установим соответствие вершин:

$\angle PAB = 30^\circ$ (в $\triangle ABP$) соответствует $\angle BDA = 30^\circ$ (в $\triangle DBA$).

$\angle PBA = 75^\circ$ (в $\triangle ABP$) соответствует $\angle DBA = 75^\circ$ (в $\triangle DBA$).

$\angle APB = 75^\circ$ (в $\triangle ABP$) соответствует $\angle DAB = 75^\circ$ (в $\triangle DBA$).

Следовательно, $\triangle ABP \sim \triangle DBA$.

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AB}{DB} = \frac{BP}{BA}$

Перемножив крайние и средние члены пропорции (крест-накрест), получим:

$AB \cdot BA = BP \cdot DB$

$AB^2 = BP \cdot BD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.