Номер 852, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 852, страница 214.

Условие.

852 В треугольнике ABC $\angle A = \frac{180^\circ}{7}$ и $\angle B = \frac{360^\circ}{7}$. Докажите, что $\frac{1}{BC} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие углам $A$, $B$ и $C$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Таким образом, $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Найдём углы треугольника. Дано: $\angle A = \frac{180^\circ}{7}$ и $\angle B = \frac{360^\circ}{7}$. Обозначим $\alpha = \frac{180^\circ}{7}$. Тогда $\angle A = \alpha$ и $\angle B = 2\alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \alpha - 2\alpha = 180^\circ - 3\alpha$. Так как по нашему обозначению $180^\circ = 7\alpha$, то:$\angle C = 7\alpha - 3\alpha = 4\alpha$. Итак, углы треугольника равны $\angle A = \alpha$, $\angle B = 2\alpha$ и $\angle C = 4\alpha$, где $\alpha = \frac{180^\circ}{7}$.

Нам нужно доказать равенство:$\frac{1}{BC} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB}$В наших обозначениях это выглядит так:$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$Приведём дроби в правой части к общему знаменателю:$\frac{1}{a} = \frac{c+b}{bc}$Это равенство эквивалентно следующему:$bc = a(b+c)$

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$где $R$ — радиус описанной окружности. Выразим стороны $a$, $b$ и $c$ через синусы углов:$a = 2R \sin(\angle A) = 2R \sin\alpha$$b = 2R \sin(\angle B) = 2R \sin(2\alpha)$$c = 2R \sin(\angle C) = 2R \sin(4\alpha)$

Подставим эти выражения в равенство, которое мы доказываем: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.$\frac{1}{2R \sin\alpha} = \frac{1}{2R \sin(2\alpha)} + \frac{1}{2R \sin(4\alpha)}$Сократив на $2R$, получим тригонометрическое тождество, которое нам предстоит доказать:$\frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} + \frac{1}{\sin(4\alpha)}$Преобразуем это равенство. Приведем правую часть к общему знаменателю:$\frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}$Отсюда:$\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) = \sin\alpha(\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha))$

Воспользуемся формулой суммы синусов для выражения в скобках:$\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha) = 2\sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos\alpha$Подставим результат в правую часть доказываемого тождества:$\sin\alpha(2\sin(3\alpha)\cos\alpha) = (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin(3\alpha)$Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:$\sin(2\alpha)\sin(3\alpha)$Таким образом, наше тождество сводится к:$\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) = \sin(2\alpha)\sin(3\alpha)$

Поскольку $\angle B = 2\alpha = \frac{360^\circ}{7} \neq 180^\circ$, то $\sin(2\alpha) \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $\sin(2\alpha)$:$\sin(4\alpha) = \sin(3\alpha)$Проверим истинность этого равенства. Из условия $\alpha = \frac{180^\circ}{7}$ следует, что $7\alpha = 180^\circ$. Отсюда $4\alpha = 180^\circ - 3\alpha$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:$\sin(4\alpha) = \sin(180^\circ - 3\alpha) = \sin(3\alpha)$Равенство $\sin(4\alpha) = \sin(3\alpha)$ верно.

Так как все преобразования были эквивалентными, исходное равенство $\frac{1}{BC} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB}$ также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.