Номер 846, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 846, страница 214.

Условие.

846. Внутри прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ взята точка $O$ так, что справедливо равенство $S_{OAB} = S_{OAC} = S_{OBC}$. Докажите, что справедливо равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпала с началом координат $C(0, 0)$. Катеты $AC$ и $BC$ расположим на осях координат. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $C(0, 0)$
• $A(0, a)$, где $a = AC$ — длина катета $AC$.
• $B(b, 0)$, где $b = BC$ — длина катета $BC$.

Пусть точка $O$ имеет координаты $(x, y)$.

По условию, площади треугольников $S_{OAB}$, $S_{OAC}$ и $S_{OBC}$ равны. Сумма этих площадей равна площади всего треугольника $ABC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} ab$

Так как $S_{OAB} = S_{OAC} = S_{OBC}$, то каждая из этих площадей равна одной трети площади треугольника $ABC$:

$S_{OAC} = S_{OBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab = \frac{1}{6} ab$

Теперь выразим площади треугольников $S_{OAC}$ и $S_{OBC}$ через координаты.

Площадь треугольника $OBC$ с вершинами $O(x, y)$, $B(b, 0)$, $C(0, 0)$ можно найти как половину произведения основания $BC$ на высоту, проведенную из точки $O$. Основание $BC$ лежит на оси $Ox$, его длина равна $b$. Высота, опущенная из точки $O(x, y)$ на ось $Ox$, равна $y$.

$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot y$

Приравнивая это выражение к найденному значению площади, получим:

$\frac{1}{2} by = \frac{1}{6} ab \implies y = \frac{a}{3}$

Аналогично для треугольника $OAC$ с вершинами $O(x, y)$, $A(0, a)$, $C(0, 0)$. Основание $AC$ лежит на оси $Oy$, его длина равна $a$. Высота, опущенная из точки $O(x, y)$ на ось $Oy$, равна $x$.

$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot x$

Приравнивая, получаем:

$\frac{1}{2} ax = \frac{1}{6} ab \implies x = \frac{b}{3}$

Таким образом, координаты точки $O$ равны $(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$.

Теперь нам нужно доказать равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$. Вычислим квадраты длин отрезков $OA$, $OB$ и $OC$ по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая в квадрате имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

• $OA^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $A(0, a)$

  $OA^2 = (0 - \frac{b}{3})^2 + (a - \frac{a}{3})^2 = (-\frac{b}{3})^2 + (\frac{2a}{3})^2 = \frac{b^2}{9} + \frac{4a^2}{9}$

• $OB^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $B(b, 0)$

  $OB^2 = (b - \frac{b}{3})^2 + (0 - \frac{a}{3})^2 = (\frac{2b}{3})^2 + (-\frac{a}{3})^2 = \frac{4b^2}{9} + \frac{a^2}{9}$

• $OC^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $C(0, 0)$

  $OC^2 = (\frac{b}{3} - 0)^2 + (\frac{a}{3} - 0)^2 = (\frac{b}{3})^2 + (\frac{a}{3})^2 = \frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{9}$

Теперь подставим полученные выражения в левую и правую части доказываемого равенства.

Левая часть: $OA^2 + OB^2$

$OA^2 + OB^2 = (\frac{b^2}{9} + \frac{4a^2}{9}) + (\frac{4b^2}{9} + \frac{a^2}{9}) = \frac{b^2 + 4b^2}{9} + \frac{4a^2 + a^2}{9} = \frac{5b^2}{9} + \frac{5a^2}{9} = 5(\frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{9})$

Правая часть: $5OC^2$

$5OC^2 = 5(\frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{9})$

Левая и правая части равны, следовательно, равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$ доказано.

Ответ: Равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$ доказано. Что и требовалось доказать.