Номер 843, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 843, страница 214.

Условие.

843. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ продолжена за точку $A$ на отрезок $AD$, равный $AC$. На лучах $BA$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ так, что площади треугольников $BDM$ и $BCK$ равны. Найдите угол $BKM$, если $\angle BAC=\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $∠DAC$ является смежным с углом $∠BAC$, поскольку по условию сторона $AB$ продолжена за точку $A$. Следовательно, $∠DAC = 180° - ∠BAC = 180° - α$.

По условию $AD = AC$, значит, треугольник $ADC$ — равнобедренный с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠ADC = ∠ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому: $∠ADC + ∠ACD + ∠DAC = 180°$ $2 \cdot ∠ADC + (180° - α) = 180°$ $2 \cdot ∠ADC = α$ $∠ADC = \frac{α}{2}$

Точки $B$, $A$ и $D$ лежат на одной прямой, поэтому угол $∠BDC$ совпадает с углом $∠ADC$. Таким образом, $∠BDC = \frac{α}{2}$.

Теперь воспользуемся условием равенства площадей треугольников $BDM$ и $BCK$. Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$. Обозначим $∠ABC = β$. Этот угол является общим для треугольников $BDM$ и $BCK$.

Площадь треугольника $BDM$: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BM \cdot \sin(β)$.
Площадь треугольника $BCK$: $S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin(β)$.

Поскольку $S_{BDM} = S_{BCK}$, то: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot BM \cdot \sin(β) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin(β)$

Так как для невырожденного треугольника $ABC$ угол $β$ не равен $0°$ или $180°$, $\sin(β) \neq 0$. Мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin(β)$: $BD \cdot BM = BC \cdot BK$

Перепишем это равенство в виде пропорции: $\frac{BK}{BD} = \frac{BM}{BC}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $BDC$. У них есть общий угол при вершине $B$ ($∠KBM = ∠DBC = β$), и стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы только что показали. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔBKM \sim ΔBDC$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠BKM$ в треугольнике $BKM$ соответствует углу $∠BDC$ в треугольнике $BDC$. Значит, $∠BKM = ∠BDC$.

Ранее мы нашли, что $∠BDC = \frac{α}{2}$. Следовательно, $∠BKM = \frac{α}{2}$.

Ответ: $\frac{α}{2}$.