Номер 837, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 837, страница 213.

Условие.

837 Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ продолжена за точку $B$ на отрезок $BE$, а сторона $AD$ продолжена за точку $D$ на отрезок $DK$. Прямые $ED$ и $KB$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади четырёхугольников $ABOD$ и $CEOK$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства равенства площадей четырехугольников $S_{ABOD}$ и $S_{CEOK}$ воспользуемся методом сложения площадей. Рассмотрим площади $S_{ABKD}$ и $S_{CEDK}$.

1. Площадь четырехугольника $ABKD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $ABOD$ и треугольника $OKD$:

$S_{ABKD} = S_{ABOD} + S_{OKD}$

Отсюда, $S_{ABOD} = S_{ABKD} - S_{OKD}$.

2. Площадь четырехугольника $CEDK$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $CEOK$ и треугольника $OKD$:

$S_{CEDK} = S_{CEOK} + S_{OKD}$

Отсюда, $S_{CEOK} = S_{CEDK} - S_{OKD}$.

Чтобы доказать, что $S_{ABOD} = S_{CEOK}$, достаточно доказать, что $S_{ABKD} = S_{CEDK}$.

3. Разложим площади четырехугольников $ABKD$ и $CEDK$ на площади составляющих их треугольников:

$S_{ABKD} = S_{ABD} + S_{BKD}$

$S_{CEDK} = S_{CED} + S_{CKD}$

Докажем равенство соответствующих слагаемых.

4. Сравним $S_{ABD}$ и $S_{CED}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Так как точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$, то прямая $AE$ также параллельна прямой $CD$ ($AE \parallel CD$).

Рассмотрим треугольники $\triangle CED$ и $\triangle ADC$. Они имеют общее основание $CD$. Их вершины $E$ и $A$ лежат на прямой $AE$, параллельной основанию $CD$. Следовательно, высоты, опущенные из вершин $A$ и $E$ на прямую $CD$, равны. Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади, поэтому:

$S_{CED} = S_{ADC}$

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника, $S_{ADC} = S_{ABC}$. Аналогично, диагональ $BD$ делит его на два равновеликих треугольника $S_{ABD} = S_{CBD}$. Площадь каждого из этих четырех треугольников равна половине площади параллелограмма. Таким образом, $S_{ADC} = S_{ABD}$.

Из этого следует, что $S_{CED} = S_{ABD}$.

5. Сравним $S_{BKD}$ и $S_{CKD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BKD$ и $\triangle CKD$. Они имеют общее основание $KD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Прямая $AK$, на которой лежит основание $KD$, параллельна прямой $BC$.

Высота треугольника $\triangle BKD$, опущенная из вершины $B$ на прямую $KD$, равна расстоянию от точки $B$ до прямой $AD$.

Высота треугольника $\triangle CKD$, опущенная из вершины $C$ на прямую $KD$, равна расстоянию от точки $C$ до прямой $AD$.

Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, расстояние между ними постоянно. Следовательно, расстояние от любой точки на прямой $BC$ (включая точки $B$ и $C$) до прямой $AD$ одинаково. Таким образом, высоты треугольников $\triangle BKD$ и $\triangle CKD$ к общему основанию $KD$ равны.

Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади, поэтому:

$S_{BKD} = S_{CKD}$

6. Завершение доказательства.

Мы показали, что:

$S_{CED} = S_{ABD}$

$S_{CKD} = S_{BKD}$

Сложив эти равенства, получаем:

$S_{CED} + S_{CKD} = S_{ABD} + S_{BKD}$

Это означает, что $S_{CEDK} = S_{ABKD}$.

Так как $S_{ABOD} = S_{ABKD} - S_{OKD}$ и $S_{CEOK} = S_{CEDK} - S_{OKD}$, то из равенства $S_{ABKD} = S_{CEDK}$ следует равенство $S_{ABOD} = S_{CEOK}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей четырехугольников $ABOD$ и $CEOK$ доказано.