Номер 834, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 834, страница 213.

Условие.

834 Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $BOC$ равна $S_{BOC} = S_1$, а площадь треугольника $AOD$ равна $S_{AOD} = S_2$. Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали:$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{COD}$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты, так как высота каждого из них равна высоте трапеции. Следовательно, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Площадь треугольника $ABD$ можно выразить как сумму площадей $S_{AOB}$ и $S_{AOD}$.$S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$

Площадь треугольника $ACD$ можно выразить как сумму площадей $S_{COD}$ и $S_{AOD}$.$S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}$

Приравнивая площади, получаем:$S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COD} + S_{AOD}$Отсюда следует, что площади боковых треугольников равны:$S_{AOB} = S_{COD}$. Обозначим эту площадь как $S_x$.

Теперь воспользуемся свойством площадей треугольников, имеющих общую высоту. Треугольники $AOB$ и $BOC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$

Аналогично, треугольники $AOD$ и $COD$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к диагонали $AC$. Отношение их площадей также равно отношению их оснований:$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$

Приравнивая правые части, получаем равенство отношений площадей:$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}$

Из этого следует, что $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$. Подставим наши обозначения $S_{AOB} = S_{COD} = S_x$, $S_{BOC} = S_1$ и $S_{AOD} = S_2$:$S_x \cdot S_x = S_1 \cdot S_2$$S_x^2 = S_1 S_2$$S_x = \sqrt{S_1 S_2}$ (площадь не может быть отрицательной).

Теперь найдем площадь трапеции:$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{COD} = S_1 + S_2 + S_x + S_x = S_1 + S_2 + 2S_x$

Подставим найденное значение $S_x$:$S_{ABCD} = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}$

Заметим, что полученное выражение является формулой полного квадрата суммы:$S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2} = (\sqrt{S_1})^2 + (\sqrt{S_2})^2 + 2\sqrt{S_1}\sqrt{S_2} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$

Ответ: $S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.