Номер 828, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 828, страница 212.

Условие.

828 Докажите, что если треугольник имеет:

а) ось симметрии, то он равнобедренный;

б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

а) Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

Пусть треугольник $ABC$ имеет ось симметрии $l$. По определению осевой симметрии, при отражении относительно прямой $l$ треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

При таком отображении каждая вершина треугольника должна перейти в одну из его вершин. Так как вершин в треугольнике три (нечетное число), то по крайней мере одна из вершин должна быть неподвижной, то есть лежать на оси симметрии $l$.

Пусть вершина $A$ лежит на оси симметрии $l$. Тогда две другие вершины, $B$ и $C$, должны либо также лежать на оси $l$ (что невозможно, так как в этом случае точки $A$, $B$, $C$ были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольник), либо быть симметричными друг другу относительно оси $l$.

Итак, вершина $B$ при симметрии относительно $l$ переходит в вершину $C$, и наоборот. Это означает, что ось симметрии $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BC$. Обозначим точку пересечения прямой $l$ и отрезка $BC$ буквой $M$. Тогда $l \perp BC$ и $BM = MC$.

Таким образом, отрезок $AM$ является одновременно высотой и медианой треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. У них катет $AM$ — общий, а катеты $BM$ и $CM$ равны по построению. Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = AC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

б) Докажите, что если треугольник имеет более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Пусть треугольник $ABC$ имеет по крайней мере две различные оси симметрии $l_1$ и $l_2$.

Как мы доказали в пункте а), любая ось симметрии треугольника проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Пусть ось симметрии $l_1$ проходит через вершину $A$. Из этого следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то есть $AB = AC$.

Пусть вторая ось симметрии $l_2$ проходит через вершину $B$. Из этого следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то есть $BA = BC$.

Мы получили два равенства:
1) $AB = AC$ (из наличия оси симметрии через $A$)
2) $AB = BC$ (из наличия оси симметрии через $B$)

Объединив эти равенства, получаем, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Если треугольник имеет более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.