Номер 821, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 821, страница 211.

Условие.

821 При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $Q$, углов $A$ и $B$ — в точке $M$, углов $B$ и $C$ — в точке $N$, и углов $C$ и $D$ — в точке $P$. Образовался четырехугольник $QMNP$. Докажем, что $QMNP$ — квадрат.

Сначала докажем, что все углы четырехугольника $QMNP$ прямые. Рассмотрим треугольник, образованный стороной $AB$ и двумя биссектрисами, — $\triangle ABM$. Так как все углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то биссектрисы делят их на углы по $45^\circ$. Следовательно, в треугольнике $ABM$ углы при основании $AB$ равны: $\angle MAB = 45^\circ$ и $\angle MBA = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle AMB = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Угол $\angle QMN$ четырехугольника $QMNP$ является вертикальным к углу $\angle AMB$, поэтому он также равен $90^\circ$. Аналогично, рассматривая треугольники $\triangle BCN$, $\triangle CDP$ и $\triangle ADQ$, можно показать, что и остальные углы четырехугольника ($\angle MNP$, $\angle NPQ$, $\angle PQM$) равны $90^\circ$. Таким образом, $QMNP$ — прямоугольник.

Теперь докажем, что стороны этого прямоугольника равны. Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники $\triangle ADQ$ и $\triangle ABM$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина катета равна длине гипотенузы, деленной на $\sqrt{2}$. Из $\triangle ADQ$ (гипотенуза $AD=b$) находим катет $AQ = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Из $\triangle ABM$ (гипотенуза $AB=a$) находим катет $AM = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Точки $A, Q, M$ лежат на одной прямой (биссектрисе угла $A$). Длина стороны $QM$ равна модулю разности длин отрезков $AM$ и $AQ$: $QM = |AM - AQ| = |\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}}| = \frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$.

Найдем длину смежной стороны $MN$. Точки $B, M, N$ лежат на биссектрисе угла $B$. Из $\triangle ABM$ мы знаем, что катет $BM = AM = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Из $\triangle BCN$ (гипотенуза $BC=b$) находим катет $BN = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Длина стороны $MN$ равна $|BN - BM| = |\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}}| = \frac{|b-a|}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, длины смежных сторон равны: $QM = MN$. Поскольку $QMNP$ — прямоугольник, у которого смежные стороны равны, то все его стороны равны. Следовательно, $QMNP$ — квадрат.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис всех углов прямоугольника, является квадратом.