Номер 819, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 819, страница 211.

Условие.

819. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана точка $A$ и прямая $l$, причем точка $A$ не лежит на прямой $l$ ($A \notin l$). Нам нужно найти геометрическое место точек (множество) $M$, которые являются серединами отрезков $AB$, где $B$ — произвольная точка на прямой $l$.

Для решения задачи можно использовать геометрический или координатный метод.

Геометрический способ

Рассмотрим гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. По определению гомотетии, она преобразует каждую точку $B$ в точку $M$ такую, что $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Это в точности соответствует условию, что $M$ — середина отрезка $AB$.

Таким образом, искомое множество середин $M$ является образом прямой $l$ при данной гомотетии.

Свойство гомотетии заключается в том, что образом прямой является прямая, параллельная исходной. Следовательно, искомое множество точек — это прямая $l'$, параллельная прямой $l$.

Чтобы найти положение этой прямой $l'$, найдем образ какой-либо одной точки с прямой $l$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $l$ (где $H$ — точка на $l$). При гомотетии точка $H$ перейдет в середину отрезка $AH$. Обозначим эту середину $M_H$. Прямая $l'$ проходит через точку $M_H$ и параллельна $l$. Таким образом, искомая прямая расположена между точкой $A$ и прямой $l$ на расстоянии, вдвое меньшем, чем расстояние от $A$ до $l$.

Координатный способ

Введем декартову систему координат. Для удобства расположим прямую $l$ на оси абсцисс ($Ox$). Тогда ее уравнение будет $y=0$.

Пусть данная точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$. Так как точка $A$ не лежит на прямой $l$, ее ордината $y_A \neq 0$.

Любая точка $B$ на прямой $l$ имеет координаты $(t, 0)$, где $t$ — произвольное действительное число.

Пусть $M(x, y)$ — середина отрезка $AB$. Используя формулы для координат середины отрезка, получаем:
$x = \frac{x_A + t}{2}$
$y = \frac{y_A + 0}{2} = \frac{y_A}{2}$

Из второго уравнения следует, что ордината $y$ для любой точки искомого множества является постоянной величиной, равной $\frac{y_A}{2}$. Это означает, что все искомые точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{y_A}{2}$. Эта прямая параллельна оси $Ox$, а значит, и исходной прямой $l$.

Из первого уравнения $x = \frac{x_A + t}{2}$ можно выразить $t = 2x - x_A$. Поскольку $t$ может принимать любое действительное значение (так как точка $B$ пробегает всю прямую $l$), то и абсцисса $x$ может принимать любое действительное значение.

Следовательно, искомое множество точек — это вся прямая $y = \frac{y_A}{2}$.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.