Номер 812, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 812, страница 211.

Условие.

812 Положительные числа $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ и $a_6$ удовлетворяют условиям $a_1-a_4 = a_5-a_2 = a_3-a_6$. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны, причём $A_1A_2 = a_1, A_2A_3 = a_2, A_3A_4 = a_3, A_4A_5 = a_4, A_5A_6 = a_5$ и $A_6A_1 = a_6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для того чтобы доказать существование выпуклого шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ с заданными свойствами, мы воспользуемся конструктивным подходом.

Сначала определим, какими должны быть углы такого шестиугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна $(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ$. Если все шесть углов равны, то каждый из них должен быть равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Шестиугольник, все углы которого равны $120^\circ$, можно получить, если от углов равностороннего треугольника отсечь три меньших равносторонних треугольника. Пусть большой равносторонний треугольник имеет сторону длины $L$, а отсекаемые от его углов треугольники имеют стороны $x, y, z$.

В результате такой операции получится выпуклый шестиугольник, все внутренние углы которого равны $120^\circ$. Последовательные длины сторон этого шестиугольника будут равны:
$a_1' = L - x - y$
$a_2' = y$
$a_3' = L - y - z$
$a_4' = z$
$a_5' = L - z - x$
$a_6' = x$

Для сторон такого шестиугольника можно найти разности длин противолежащих сторон:
$a_1' - a_4' = (L - x - y) - z = L - (x+y+z)$
$a_5' - a_2' = (L - z - x) - y = L - (x+y+z)$
$a_3' - a_6' = (L - y - z) - x = L - (x+y+z)$

Таким образом, для любого шестиугольника, построенного таким методом, выполняется условие: $a_1' - a_4' = a_5' - a_2' = a_3' - a_6'$. Это в точности совпадает с условием, данным в задаче.

Теперь докажем обратное: для любого набора положительных чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, удовлетворяющих условию $a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$, можно осуществить вышеописанное построение.

Определим размеры отсекаемых треугольников $x, y, z$ и большого треугольника $L$ через заданные длины сторон $a_i$. Из формул для сторон $a_i'$ следует, что:
$x = a_6$
$y = a_2$
$z = a_4$

Поскольку по условию задачи числа $a_2, a_4, a_6$ положительны, то и $x, y, z$ будут положительными.

Теперь определим длину стороны $L$ большого треугольника. У нас есть три выражения для $L$:
$L = a_1 + x + y = a_1 + a_6 + a_2$
$L = a_3 + y + z = a_3 + a_2 + a_4$
$L = a_5 + z + x = a_5 + a_4 + a_6$

Проверим, что эти выражения для $L$ согласованы между собой, используя условие задачи:
Из $a_1 - a_4 = a_3 - a_6$ следует $a_1 + a_6 = a_3 + a_4$. Прибавив $a_2$ к обеим частям, получаем $a_1 + a_6 + a_2 = a_3 + a_4 + a_2$. Значит, первые два выражения для $L$ равны.
Из $a_5 - a_2 = a_3 - a_6$ следует $a_5 + a_6 = a_3 + a_2$. Прибавив $a_4$ к обеим частям, получаем $a_5 + a_6 + a_4 = a_3 + a_2 + a_4$. Значит, второе и третье выражения для $L$ равны.

Таким образом, величина $L$ определена корректно. Например, можно взять $L = a_1 + a_2 + a_6$.

Для того чтобы построение было возможно, необходимо, чтобы отсекаемые от углов треугольники не перекрывались. Это означает, что сумма длин сторон любых двух отсекаемых треугольников должна быть меньше длины стороны большого треугольника:
1. $x + y < L \iff a_6 + a_2 < a_1 + a_2 + a_6 \iff 0 < a_1$
2. $y + z < L \iff a_2 + a_4 < a_3 + a_2 + a_4 \iff 0 < a_3$
3. $z + x < L \iff a_4 + a_6 < a_5 + a_4 + a_6 \iff 0 < a_5$

Все эти неравенства верны, так как по условию все числа $a_1, ..., a_6$ положительны.

Мы показали, что для любого набора положительных чисел $a_i$, удовлетворяющих заданным условиям, можно построить выпуклый шестиугольник с равными углами ($120^\circ$) и соответствующими длинами сторон. Это доказывает существование такого шестиугольника.

Ответ: Утверждение доказано.