Номер 807, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 807, страница 210.

Условие.

807 Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC, O — произвольная точка. Докажите, что

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются медианами треугольника $ABC$. Это означает, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Для любой произвольной точки $O$ радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Используя это свойство для середин сторон нашего треугольника, мы можем выразить векторы $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$ через векторы вершин треугольника:

Поскольку $A_1$ — середина стороны $BC$, то $\vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$.

Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, то $\vec{OB_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$.

Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, то $\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.

Теперь рассмотрим и преобразуем правую часть равенства, которое нам нужно доказать: $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$.

Подставим в это выражение полученные выше формулы для векторов:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} = (\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OA}) + (\frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OB}) + (\frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OC})$

Сложив векторы, получаем:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Таким образом, мы показали, что правая часть исходного равенства $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$ равна его левой части $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Следовательно, равенство $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.