Номер 804, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 804, страница 210.

Условие.

804 Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что $AK = \frac{1}{3} AD$. Выразите векторы $\vec{CK}$, $\vec{KD}$ и $\vec{BC}$ через векторы $\vec{a}=\vec{BA}$ и $\vec{b}=\vec{CD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $AD$ и $BC$. Известно, что $AD = 3BC$. Так как $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, то $AD \parallel BC$, а значит векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены. Отсюда следует векторное равенство: $\vec{AD} = 3\vec{BC}$.

На стороне $AD$ отмечена точка $K$ такая, что $AK = \frac{1}{3}AD$. Векторно это означает $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}$.

Заданы векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Для решения задачи сначала выразим вектор $\vec{BC}$ (а следовательно и $\vec{AD}$) через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Воспользуемся правилом сложения векторов для замкнутого контура трапеции: $\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{0}$. Выразим отсюда $\vec{AD}$: $\vec{AD} = -\vec{BA} - \vec{DC} - \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC}$.

Подставим известные векторы: $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$. Получаем: $\vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{BC}$.

Теперь используем соотношение $\vec{AD} = 3\vec{BC}$: $3\vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{BC}$ $3\vec{BC} - \vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$ $2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$ $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Зная $\vec{BC}$, можем найти $\vec{AD}$: $\vec{AD} = 3\vec{BC} = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

Теперь, когда мы выразили основные векторы трапеции через $\vec{a}$ и $\vec{b}$, можем найти требуемые векторы.

Выражение для вектора $\vec{CK}$

Выразим вектор $\vec{CK}$ по правилу треугольника, используя ломаную $CDK$: $\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK}$. Вектор $\vec{CD} = \vec{b}$. Найдем вектор $\vec{DK}$. Он противоположен вектору $\vec{KD}$, то есть $\vec{DK} = -\vec{KD}$. Вектор $\vec{KD}$ можно найти как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AK}$: $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$. $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{2})(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$. Тогда $\vec{DK} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$. Подставим найденные векторы в выражение для $\vec{CK}$: $\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK} = \vec{b} + (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}$. Ответ: $\vec{CK} = \vec{a}$.

Выражение для вектора $\vec{KD}$

Этот вектор был найден в процессе вычисления $\vec{CK}$. Повторим вывод. Так как точка $K$ делит отрезок $AD$ в отношении $AK:KD = 1:2$, то $KD = \frac{2}{3}AD$. Следовательно, вектор $\vec{KD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$. Подставим выражение для $\vec{AD}$: $\vec{KD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$. Ответ: $\vec{KD} = \vec{b} - \vec{a}$.

Выражение для вектора $\vec{BC}$

Данный вектор был найден в самом начале при установлении связи между сторонами трапеции. Из равенства $3\vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{BC}$ мы получили: $2\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$ $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$. Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.