Номер 20, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 20, страница 209.

Условие.

20 Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины её боковых сторон. Теорема о средней линии трапеции утверждает, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям и её длина равна полусумме длин оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции.

Дано:
$ABCD$ — трапеция,
$AD \parallel BC$,
$AM = MB$,
$CN = ND$.

Доказать:
1) $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$
2) $MN = \frac{AD + BC}{2}$

Доказательство:

1. Проведём прямую через вершину $B$ и середину $N$ стороны $CD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$. У них:

• $CN = ND$ (по условию, так как $N$ — середина $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).

3. Таким образом, $\triangle BCN = \triangle EDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BC = DE$ и $BN = NE$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. В этом треугольнике:

• Точка $M$ является серединой стороны $AB$ (по условию).
• Точка $N$ является серединой стороны $BE$ (так как $BN = NE$ из предыдущего пункта).

6. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.

7. По теореме о средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине. Значит:
$MN \parallel AE$.
Поскольку отрезок $AD$ лежит на прямой $AE$, то $MN \parallel AD$. А так как по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть теоремы доказана.

8. Также по свойству средней линии треугольника $\triangle ABE$:
$MN = \frac{1}{2}AE$.
Длина стороны $AE$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DE$: $AE = AD + DE$.
Из пункта 4 мы знаем, что $DE = BC$.
Заменим $DE$ на $BC$ в выражении для $AE$: $AE = AD + BC$.

9. Наконец, подставим это выражение для $AE$ в формулу для длины $MN$:
$MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$ или $MN = \frac{AD + BC}{2}$.
Вторая часть теоремы доказана.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин этих оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.