Номер 15, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 15, страница 209.

Условие.

15 Чему равно произведение $k\vec{a}$, если:

а) $\vec{a} = \vec{0}$;

б) $k=0$?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Произведение скаляра (числа) $k$ на вектор $\vec{a}$ — это вектор, обозначаемый $k\vec{a}$. Длина этого вектора $|k\vec{a}|$ равна произведению модуля скаляра на длину исходного вектора: $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$. Направление вектора $k\vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то произведение является нулевым вектором $\vec{0}$, длина которого равна нулю, а направление не определено.

а)

В этом случае нам дано, что вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. Длина нулевого вектора по определению равна нулю: $|\vec{a}| = |\vec{0}| = 0$.

Для нахождения произведения $k\vec{a}$ воспользуемся свойством длины вектора, полученного в результате умножения на скаляр: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

Подставим в эту формулу длину нашего вектора: $|k\vec{a}| = |k| \cdot 0 = 0$.

Так как длина результирующего вектора равна нулю, это означает, что сам вектор является нулевым вектором.

Ответ: $k\vec{a} = \vec{0}$.

б)

В этом случае нам дано, что скаляр $k = 0$, а вектор $\vec{a}$ может быть любым.

Снова воспользуемся свойством длины вектора, полученного в результате умножения на скаляр: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

Подставим в эту формулу значение нашего скаляра: $|k\vec{a}| = |0| \cdot |\vec{a}| = 0 \cdot |\vec{a}| = 0$.

Независимо от длины вектора $\vec{a}$, длина результирующего вектора равна нулю. Единственный вектор, имеющий нулевую длину, — это нулевой вектор.

Ответ: $k\vec{a} = \vec{0}$.