Номер 9, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 9, страница 209.

Условие.

9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Теорема о законах сложения векторов

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы следующие законы сложения:

1. Переместительный (коммутативный) закон: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
2. Сочетательный (ассоциативный) закон: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Доказательство

Переместительный закон

Докажем, что для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

В случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, достроим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм $OACB$.

Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, совпадающий с диагональю $\vec{OC}$ этого параллелограмма. Таким образом, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

С другой стороны, по свойству параллелограмма, $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{OA}$, а вектор $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{OB}$. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{b}$.

Рассмотрим сумму $\vec{b} + \vec{a}$. По правилу треугольника, $\vec{b} + \vec{a} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC}$.

Так как и $\vec{a} + \vec{b}$, и $\vec{b} + \vec{a}$ равны одному и тому же вектору $\vec{OC}$, то $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то их можно отложить на одной прямой. Пусть от точки $O$ отложен вектор $\vec{a} = \vec{OA}$, а от точки $A$ — вектор $\vec{b} = \vec{AC}$. Тогда их сумма $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$. Если же от точки $O$ отложить вектор $\vec{b} = \vec{OB}$, а от точки $B$ — вектор $\vec{a} = \vec{BC'}$, то их сумма $\vec{b} + \vec{a} = \vec{OC'}$. В этом случае точки $C$ и $C'$ совпадают, следовательно, равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ также выполняется.

Ответ: Переместительный закон сложения векторов доказан. Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Сочетательный закон

Докажем, что для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Отложим от произвольной точки $O$ последовательно векторы $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

Найдем сумму в левой части равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$.

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$.

Теперь к полученному вектору $\vec{OB}$ прибавим вектор $\vec{c}$: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{OB} + \vec{BC}$. Снова по правилу треугольника, $\vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC}$.

Таким образом, мы получили, что $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{OC}$.

Теперь найдем сумму в правой части равенства: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Сначала сложим векторы в скобках. По правилу треугольника, $\vec{b} + \vec{c} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Теперь к вектору $\vec{a}$ прибавим полученный вектор $\vec{AC}$: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{OA} + \vec{AC}$. По правилу треугольника, $\vec{OA} + \vec{AC} = \vec{OC}$.

Таким образом, мы получили, что $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{OC}$.

Поскольку левая и правая части доказываемого равенства равны одному и тому же вектору $\vec{OC}$, то $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ: Сочетательный закон сложения векторов доказан. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.