Номер 8, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 8, страница 209.

Условие.

8 Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство
$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ можно использовать два подхода: геометрический (основанный на правилах сложения векторов) и алгебраический (основанный на координатах).

Доказательство 1. Геометрический метод

1. По определению, вектор – это направленный отрезок. Пусть произвольный вектор $\vec{a}$ представлен направленным отрезком $\vec{AB}$, где $A$ – его начало, а $B$ – его конец.

2. Нулевой вектор $\vec{0}$ – это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю. Мы можем представить нулевой вектор как $\vec{BB}$, где $B$ – любая точка.

3. Сложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{0}$ выполняется по правилу треугольника (или правилу последовательного соединения векторов). Чтобы найти сумму $\vec{a} + \vec{0}$, нужно от конца вектора $\vec{a}$ (точка $B$) отложить вектор $\vec{0}$.

4. В нашем случае это означает, что мы выполняем сложение $\vec{AB} + \vec{BB}$.

5. По правилу сложения, результирующий вектор начинается в начальной точке первого вектора ($A$) и заканчивается в конечной точке второго вектора ($B$). Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BB} = \vec{AB}$.

6. Так как по нашему определению $\vec{AB} = \vec{a}$, мы получаем, что $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ доказано с помощью геометрического определения сложения векторов. Прибавление вектора нулевой длины ($\vec{BB}$) к вектору $\vec{AB}$ не изменяет его конечную точку и, следовательно, не изменяет сам вектор.

Доказательство 2. Алгебраический (координатный) метод

1. Введем систему координат (например, декартову). Любой вектор $\vec{a}$ можно представить набором его координат. Для n-мерного пространства: $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$.

2. Нулевой вектор $\vec{0}$ в этой же системе координат имеет все координаты, равные нулю: $\vec{0} = (0, 0, \dots, 0)$.

3. Операция сложения векторов в координатной форме определяется как покомпонентное сложение их координат.

4. Выполним сложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{0}$ в координатах:
$\vec{a} + \vec{0} = (a_1, a_2, \dots, a_n) + (0, 0, \dots, 0) = (a_1 + 0, a_2 + 0, \dots, a_n + 0)$.

5. Исходя из свойства нуля для действительных чисел (для любого числа $x$ справедливо равенство $x + 0 = x$), каждая координата результирующего вектора будет равна соответствующей координате вектора $\vec{a}$:

$(a_1 + 0, a_2 + 0, \dots, a_n + 0) = (a_1, a_2, \dots, a_n)$.

6. Таким образом, вектор-сумма имеет те же координаты, что и вектор $\vec{a}$, а значит, равен ему. Следовательно, $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ доказано с помощью координатного метода. Прибавление нуля к каждой из координат вектора $\vec{a}$ не изменяет их значений и, следовательно, не изменяет сам вектор.