Номер 14, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 14, страница 209.

Условие.

14 Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ (также называемое скаляром), не равное нулю, называется новый вектор, обозначаемый как $k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

• Модуль (длина) вектора: Длина вектора $k\vec{a}$ равна произведению длины исходного вектора $\vec{a}$ на модуль числа $k$. Математически это выражается формулой: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Направление вектора:
  • Если число $k > 0$, то направление вектора $k\vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$ (векторы сонаправлены).
  • Если число $k < 0$, то направление вектора $k\vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$ (векторы противоположно направлены).

Особые случаи:

• Если $k=0$ или если вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$), то их произведение равно нулевому вектору ($k\vec{a} = \vec{0}$). Нулевой вектор имеет длину, равную нулю, и не имеет определенного направления.

В координатах:

Если вектор $\vec{a}$ задан своими координатами, например, на плоскости $\vec{a} = (x_a, y_a)$, то для нахождения координат вектора $k\vec{a}$ необходимо каждую координату вектора $\vec{a}$ умножить на число $k$:

$k\vec{a} = (k \cdot x_a, k \cdot y_a)$

Аналогично для трехмерного пространства: если $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$, то $k\vec{a} = (k \cdot x_a, k \cdot y_a, k \cdot z_a)$.

Ответ: Произведением данного вектора $\vec{a}$ на данное число $k$ называется вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлен, если $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то произведение является нулевым вектором.