Номер 800, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 800, страница 209.

Условие.

800 Докажите, что если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$, а если $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, причём $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Квадрат модуля суммы векторов равен скалярному квадрату этой суммы:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n})$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = \vec{m} \cdot \vec{m} + \vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{m} + \vec{n} \cdot \vec{n}$
Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), получаем:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$
Скалярное произведение векторов определяется через их модули и угол $\alpha$ между ними: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos\alpha$.
По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, значит, угол между ними $\alpha = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$.
Следовательно, $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}| \cdot 1 = |\vec{m}||\vec{n}|$.
Подставим это выражение в нашу формулу:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2|\vec{m}||\vec{n}| + |\vec{n}|^2$
Правая часть равенства является формулой полного квадрата суммы:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = (|\vec{m}| + |\vec{n}|)^2$
Так как модуль вектора (его длина) — величина неотрицательная, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$.

а если $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, причём $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$

Воспользуемся тем же подходом. Исходное выражение для квадрата модуля суммы:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$
По условию векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены. Это означает, что угол $\alpha$ между ними равен $180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$.
Тогда их скалярное произведение равно:
$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos(180^\circ) = -|\vec{m}||\vec{n}|$
Подставим это значение в выражение для квадрата модуля суммы:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2|\vec{m}||\vec{n}| + |\vec{n}|^2$
Правая часть является формулой полного квадрата разности:
$|\vec{m} + \vec{n}|^2 = (|\vec{m}| - |\vec{n}|)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{(|\vec{m}| - |\vec{n}|)^2} = ||\vec{m}| - |\vec{n}}||$
Согласно условию задачи, $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, следовательно, разность $|\vec{m}| - |\vec{n}|$ является неотрицательной. Поэтому модуль этой разности равен самой разности:
$||\vec{m}| - |\vec{n}}|| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$
Таким образом, мы приходим к равенству:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены и $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$.