Номер 806, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 806, страница 210.

Условие.

806 Точка C делит отрезок AB в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки O справедливо равенство

$\overrightarrow{OC} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $m:n$, считая от точки $A$. Это означает, что отношение длин отрезков $AC$ и $CB$ равно $m/n$:

$\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены. Из отношения их длин следует векторное равенство:

$n \cdot \vec{AC} = m \cdot \vec{CB}$

Возьмем произвольную точку $O$ и выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ через радиус-векторы их концов с началом в точке $O$, используя правило вычитания векторов:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$

Подставим эти выражения в предыдущее равенство:

$n(\vec{OC} - \vec{OA}) = m(\vec{OB} - \vec{OC})$

Раскроем скобки в уравнении:

$n\vec{OC} - n\vec{OA} = m\vec{OB} - m\vec{OC}$

Сгруппируем члены, содержащие вектор $\vec{OC}$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$n\vec{OC} + m\vec{OC} = n\vec{OA} + m\vec{OB}$

Вынесем $\vec{OC}$ за скобки:

$(n+m)\vec{OC} = n\vec{OA} + m\vec{OB}$

Так как $m$ и $n$ — это части отношения, они являются положительными числами, поэтому их сумма $m+n$ не равна нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $m+n$, чтобы выразить $\vec{OC}$:

$\vec{OC} = \frac{n\vec{OA} + m\vec{OB}}{m+n}$

Разделив почленно, получаем искомое равенство:

$\vec{OC} = \frac{n}{m+n}\vec{OA} + \frac{m}{m+n}\vec{OB}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.