Номер 813, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 813, страница 211.

Условие.

813 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства того, что из одинаковых плиток в форме произвольного выпуклого четырёхугольника можно составить паркет (тесселяцию), мы покажем, как из двух таких плиток можно составить фигуру, которая гарантированно покрывает плоскость без пробелов и наложений. Такой фигурой является центрально-симметричный шестиугольник.

1. Построение шестиугольника

Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник. Обозначим его вершины последовательно (например, против часовой стрелки) как $A, B, C, D$.

Выберем одну из его сторон, например, сторону $BC$, и найдём её середину — точку $M$.

Теперь возьмём вторую, точно такую же плитку-четырёхугольник, и повернём её на $180^\circ$ вокруг точки $M$. Обозначим этот поворот как $R_M^{180}$. При таком повороте:

• Вершина $B$ исходного четырёхугольника перейдёт в вершину $C$.
• Вершина $C$ исходного четырёхугольника перейдёт в вершину $B$.
• Вершины $A$ и $D$ перейдут в новые точки, которые мы назовём $A'$ и $D'$ соответственно. То есть, $A' = R_M^{180}(A)$ и $D' = R_M^{180}(D)$.

В результате мы получим второй четырёхугольник $A'CD'B$. Если соединить исходный четырёхугольник $ABCD$ с его повёрнутой копией, их общая сторона $BC$ исчезнет внутри, и образуется новая фигура — шестиугольник с вершинами $A, B, D', A', C, D$.

2. Свойства полученного шестиугольника

Докажем, что у шестиугольника $ABD'A'CD$ противолежащие стороны попарно равны и параллельны. Для этого удобно использовать векторы.

Точка $M$ является серединой отрезка $BC$, поэтому её можно выразить через координаты (или радиус-векторы) вершин: $M = \frac{B+C}{2}$.

По определению поворота на $180^\circ$ вокруг точки $M$: $A' = 2M - A = (B+C) - A$ и $D' = 2M - D = (B+C) - D$.

Теперь рассмотрим пары противолежащих сторон шестиугольника $ABD'A'CD$:

• Стороны $AB$ и $A'C$.
  Вектор стороны $AB$: $\vec{AB} = B - A$.
  Вектор стороны $A'C$: $\vec{CA'} = A' - C = ((B+C)-A) - C = B - A$.
  Поскольку $\vec{AB} = \vec{CA'}$, стороны $AB$ и $A'C$ параллельны и равны по длине.
• Стороны $BD'$ и $CD$.
  Вектор стороны $BD'$: $\vec{BD'} = D' - B = ((B+C)-D) - B = C - D$.
  Вектор стороны $CD$: $\vec{DC} = C - D$.
  Поскольку $\vec{BD'} = \vec{DC}$, стороны $BD'$ и $CD$ параллельны и равны по длине.
• Стороны $D'A'$ и $DA$.
  Вектор стороны $D'A'$: $\vec{D'A'} = A' - D' = ((B+C)-A) - ((B+C)-D) = D - A$.
  Вектор стороны $DA$: $\vec{DA} = A - D$. Ой, тут должно быть $\vec{AD}$. Давайте посмотрим на порядок вершин: A-B-D'-A'-C-D-A. Противоположная сторона к $DA$ это $D'A'$. Нет, противоположная сторона к $DA$ это $BD'$. Противоположная к $D'A'$ это $CD$. Противоположная к $AB$ это $A'C$. Я неверно определил пары. Противолежащие стороны: ($AB, A'C$), ($BD', CD$), ($D'A', DA$). Let's recheck the order of vertices $A \to B \to D' \to A' \to C \to D \to A$. The sides are $AB, BD', D'A', A'C, CD, DA$. Opposite sides are $(AB, A'C)$, $(BD', CD)$, $(D'A', DA)$. Vector стороны $DA$: $\vec{AD} = D - A$.
  Вектор стороны $D'A'$: $\vec{A'D'} = D' - A' = ((B+C)-D) - ((B+C)-A) = A - D = -\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AD}$ и $\vec{A'D'}$ антипараллельны. Стороны $DA$ и $D'A'$ параллельны и равны.

Итак, мы доказали, что у шестиугольника $ABD'A'CD$ все три пары противолежащих сторон параллельны и равны. Такой шестиугольник является центрально-симметричным (с центром симметрии в точке $M$).

3. Покрытие плоскости (создание паркета)

Любой центрально-симметричный шестиугольник может замостить плоскость. Это можно сделать путем параллельных переносов. Если взять построенный нами шестиугольник за "базовую" плитку, то, прикладывая его копии друг к другу со сдвигом на векторы, соединяющие его противолежащие стороны (например, на векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD'}$), мы можем покрыть всю плоскость без зазоров и наложений.

Поскольку наш шестиугольник, который способен замостить плоскость, сам состоит из двух одинаковых исходных четырёхугольников, это означает, что и сами исходные четырёхугольники могут замостить плоскость. Способ замощения будет представлять собой узор, в котором в каждой "узловой" точке сходятся четыре одинаковых четырёхугольника, причём в этой точке встречаются все четыре разных угла ($\alpha, \beta, \gamma, \delta$) четырёхугольника. Их сумма равна $360^\circ$, что и обеспечивает идеальное прилегание без зазоров.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух одинаковых плиток в форме произвольного выпуклого четырехугольника можно сложить центрально-симметричный шестиугольник. Такой шестиугольник может замостить плоскость путем параллельных переносов. Следовательно, и сам исходный четырехугольник может быть использован для создания паркета, полностью покрывающего любую часть плоскости.