Номер 815, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 815, страница 211.

Условие.

815 Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан произвольный четырёхугольник с вершинами A, B, C, D. Для доказательства утверждения мы рассмотрим взаимное расположение его вершин относительно диагоналей. Предположим, что никакие три вершины не лежат на одной прямой, чтобы избежать вырожденных (треугольных) случаев.

Рассмотрим одну из диагоналей четырёхугольника, например, прямую, проходящую через вершины A и C. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Две другие вершины, B и D, могут располагаться относительно этой прямой двумя способами:

1. Вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC.
2. Вершины B и D лежат по одну сторону от прямой AC.

Разберём каждый из этих случаев.

Если вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC, то это означает, что мы нашли пару противоположных вершин (B и D), которые лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины (A и C). В этом случае утверждение задачи доказано. Это характерно для всех выпуклых четырёхугольников, у которых диагонали пересекаются внутри.

Теперь рассмотрим случай, когда вершины B и D лежат по одну сторону от прямой AC. В этой ситуации мы должны доказать, что другая пара противоположных вершин, A и C, будет лежать по разные стороны от прямой, проходящей через вершины B и D.

Если вершины B и D находятся по одну сторону от прямой AC, то четырёхугольник ABCD является невыпуклым (вогнутым). В этом случае выпуклая оболочка множества из четырёх точек {A, B, C, D} представляет собой треугольник, а четвёртая вершина находится внутри этого треугольника.

Поскольку B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, ни одна из вершин A или C не может находиться внутри треугольника, образованного тремя другими. (Например, если бы C лежала внутри треугольника $ \triangle ABD $, то прямая AC пересекала бы отрезок BD, что противоречило бы нашему предположению). Следовательно, либо вершина D лежит внутри треугольника $ \triangle ABC $, либо вершина B лежит внутри треугольника $ \triangle ADC $.

Пусть вершина D лежит внутри треугольника $ \triangle ABC $. Проверим расположение вершин относительно второй диагонали — прямой BD. Прямая BD проходит через вершину B треугольника $ \triangle ABC $ и его внутреннюю точку D. Согласно свойству прямой, пересекающей треугольник (которое следует из аксиомы Паша), такая прямая обязана пересечь сторону треугольника, противоположную вершине B, то есть сторону AC. Точка пересечения прямой BD и отрезка AC будет лежать строго между точками A и C. А это по определению означает, что вершины A и C лежат по разные стороны от прямой BD.

Таким образом, если одна пара противоположных вершин (B и D) лежит по одну сторону от соединяющей другие две вершины прямой (AC), то другая пара вершин (A и C) обязательно лежит по разные стороны от своей прямой (BD).

Мы рассмотрели все возможные конфигурации вершин, и в каждом случае утверждение задачи выполняется.

Ответ: Утверждение доказано. В любом четырёхугольнике найдётся пара противоположных вершин, лежащих по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. Для выпуклого четырёхугольника это свойство выполняется для обеих пар противоположных вершин, для невыпуклого — ровно для одной.