Номер 814, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 814, страница 211.

Условие.

814 Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что эти отрезки пересекаются.

Рассмотрим треугольник $ABD$ и вершину $C$. По определению выпуклого четырёхугольника, для любой его стороны все остальные вершины лежат по одну сторону от прямой, содержащей эту сторону. Следовательно, вершины $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, а вершины $C$ и $B$ — по одну сторону от прямой $AD$. Эти два условия означают, что точка $C$ лежит внутри угла $BAD$.

Согласно теореме о пересечении (также известной как аксиома Паша), если луч исходит из вершины угла и проходит через его внутреннюю точку, то он пересекает отрезок, соединяющий точки на сторонах этого угла. В нашем случае луч $AC$ пересекает отрезок (диагональ) $BD$ в некоторой точке, назовём её $O$. Это означает, что точка $O$ принадлежит отрезку $BD$ и одновременно лучу $AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$ и вершину $A$. Аналогичными рассуждениями получаем: поскольку четырёхугольник выпуклый, вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$, а вершины $A$ и $D$ — по одну сторону от прямой $BC$. Это означает, что точка $A$ лежит внутри угла $BCD$.

Следовательно, луч $CA$ также пересекает отрезок $BD$. Так как прямые $AC$ и $BD$ могут пересекаться не более чем в одной точке, эта точка пересечения и есть наша точка $O$. Таким образом, точка $O$ принадлежит отрезку $BD$ и одновременно лучу $CA$.

Итак, мы установили, что точка $O$ принадлежит и лучу $AC$ (исходящему из $A$ и проходящему через $C$), и лучу $CA$ (исходящему из $C$ и проходящему через $A$). Множество точек, принадлежащих обоим этим лучам, является отрезком $AC$. Значит, точка $O$ принадлежит отрезку $AC$.

Поскольку точка $O$ принадлежит как отрезку $AC$, так и отрезку $BD$, это означает, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.