Номер 810, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 810, страница 210.

Условие.

810 Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковой стороной $AB$. Пусть биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle CBA$, прилежащих к этой боковой стороне, пересекаются в точке $K$. Нам нужно доказать, что точка $K$ лежит на средней линии трапеции.

Доказательство:

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

2. Пусть $AK$ — биссектриса угла $\angle DAB$, а $BK$ — биссектриса угла $\angle CBA$. По определению биссектрисы:
$\angle KAB = \frac{1}{2} \angle DAB$
$\angle KBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

3. Рассмотрим треугольник $\Delta ABK$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $\angle KAB$ и $\angle KBA$:
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle CBA)$
Подставив значение из пункта 1, получим:
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

4. Теперь найдем третий угол треугольника $\Delta ABK$:
$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Следовательно, треугольник $\Delta ABK$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$.

5. Проведем из точки $K$ прямую, параллельную основаниям $AD$ и $BC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $P$. Нам нужно доказать, что эта прямая является средней линией, то есть что точка $P$ — середина отрезка $AB$.

6. Так как $PK \parallel AD$, то углы $\angle PKA$ и $\angle DAK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $PK$ и $AD$ и секущей $AK$. Следовательно, $\angle PKA = \angle DAK$.

7. Поскольку $AK$ — биссектриса, то $\angle DAK = \angle PAK$.

8. Из равенств в пунктах 6 и 7 следует, что $\angle PKA = \angle PAK$. Это означает, что треугольник $\Delta APK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и, следовательно, $AP = PK$.

9. Аналогично, так как $PK \parallel BC$, то углы $\angle PKB$ и $\angle CBK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $PK$ и $BC$ и секущей $BK$. Следовательно, $\angle PKB = \angle CBK$. Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle CBK = \angle PBK$. Отсюда $\angle PKB = \angle PBK$, что означает, что треугольник $\Delta BPK$ равнобедренный с основанием $BK$, и $BP = PK$.

10. Из пунктов 8 и 9 мы получили, что $AP = PK$ и $BP = PK$. Следовательно, $AP = BP$. Это означает, что точка $P$ является серединой боковой стороны $AB$.

11. Прямая, проходящая через середину боковой стороны трапеции параллельно основаниям, является средней линией трапеции. Мы показали, что точка $K$ лежит на прямой $PK$, которая проходит через середину $P$ стороны $AB$ и параллельна основаниям. Таким образом, точка $K$ лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Ответ: Что и требовалось доказать.