Номер 803, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 803, страница 210.

Условие.

803 На сторонах $MN$ и $NP$ треугольника $MNP$ отмечены соответственно точки $X$ и $Y$ так, что $\frac{MX}{XN} = \frac{3}{2}$ и $\frac{NY}{YP} = \frac{3}{2}$. Выразите векторы $\vec{XY}$ и $\vec{MP}$ через векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи даны треугольник $MNP$ и векторы $\vec{a} = \vec{NM}$ и $\vec{b} = \vec{NP}$.

На стороне $MN$ отмечена точка $X$ так, что $\frac{MX}{XN} = \frac{3}{2}$. Это означает, что точка $X$ делит отрезок $MN$ в отношении 3:2. Следовательно, вся сторона $MN$ состоит из $3+2=5$ частей.

На стороне $NP$ отмечена точка $Y$ так, что $\frac{NY}{YP} = \frac{3}{2}$. Это означает, что точка $Y$ делит отрезок $NP$ в отношении 3:2. Следовательно, вся сторона $NP$ состоит из $3+2=5$ частей.

Выражение вектора $\vec{XY}$

Для нахождения вектора $\vec{XY}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов, выразив его через точку $N$: $\vec{XY} = \vec{XN} + \vec{NY}$.

Найдем вектор $\vec{XN}$. Так как точка $X$ лежит на стороне $MN$ и делит ее в отношении $MX:XN = 3:2$, то длина отрезка $XN$ составляет $\frac{2}{5}$ от длины $MN$. Вектор $\vec{XN}$ сонаправлен с вектором $\vec{MN}$. Таким образом, $\vec{XN} = \frac{2}{5}\vec{MN}$. Вектор $\vec{MN}$ противоположен вектору $\vec{NM}$, поэтому $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{XN} = \frac{2}{5}(-\vec{a}) = -\frac{2}{5}\vec{a}$.

Найдем вектор $\vec{NY}$. Так как точка $Y$ лежит на стороне $NP$ и делит ее в отношении $NY:YP = 3:2$, то длина отрезка $NY$ составляет $\frac{3}{5}$ от длины $NP$. Вектор $\vec{NY}$ сонаправлен с вектором $\vec{NP}$. По условию $\vec{NP} = \vec{b}$, значит $\vec{NY} = \frac{3}{5}\vec{NP} = \frac{3}{5}\vec{b}$.

Теперь подставим найденные выражения в формулу для $\vec{XY}$:
$\vec{XY} = \vec{XN} + \vec{NY} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{XY} = \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{2}{5}\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{MP}$

Для нахождения вектора $\vec{MP}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{MP} = \vec{MN} + \vec{NP}$.

Мы знаем, что вектор $\vec{MN}$ противоположен вектору $\vec{NM}$, поэтому $\vec{MN} = -\vec{NM} = -\vec{a}$.

По условию задачи $\vec{NP} = \vec{b}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{MP}$:
$\vec{MP} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{MP} = \vec{b} - \vec{a}$