Номер 18, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 18, страница 209.

Условие.

18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Векторный метод позволяет элегантно доказывать многие классические геометрические теоремы и решать задачи. В качестве примера рассмотрим доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

Задача: Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение:

Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда положения вершин треугольника задаются их радиус-векторами: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$.

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы треугольника — это отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Радиус-векторы середин сторон можно выразить через радиус-векторы вершин по формуле середины отрезка:

• Радиус-вектор точки $A_1$: $\vec{OA_1} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
• Радиус-вектор точки $B_1$: $\vec{OB_1} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
• Радиус-вектор точки $C_1$: $\vec{OC_1} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Теперь найдём радиус-вектор точки $M$, которая делит медиану $AA_1$ в отношении $AM:MA_1 = 2:1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, радиус-вектор точки $M$ равен:

$$ \vec{OM} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OA_1}}{1+2} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$

Теперь проделаем то же самое для двух других медиан. Найдём радиус-вектор точки $M'$, которая делит медиану $BB_1$ в отношении $BM':M'B_1 = 2:1$:

$$ \vec{OM'} = \frac{1 \cdot \vec{OB} + 2 \cdot \vec{OB_1}}{1+2} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}}{3} $$

И, наконец, найдём радиус-вектор точки $M''$, которая делит медиану $CC_1$ в отношении $CM'':M''C_1 = 2:1$:

$$ \vec{OM''} = \frac{1 \cdot \vec{OC} + 2 \cdot \vec{OC_1}}{1+2} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 2 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}}{3} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{3} $$

Мы видим, что радиус-векторы всех трёх точек одинаковы: $\vec{OM} = \vec{OM'} = \vec{OM''} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$. Это означает, что точки $M$, $M'$ и $M''$ совпадают. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной и той же точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, что и требовалось доказать.

Этот пример демонстрирует, как использование векторов и их свойств (в данном случае, формулы деления отрезка) позволяет провести доказательство кратко и универсально, без привлечения сложных геометрических построений или координатного метода.

Ответ: Примером применения векторов является доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника. С помощью векторного метода доказывается, что все три медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус-вектор этой точки выражается как среднее арифметическое радиус-векторов вершин треугольника: $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$.