Номер 13, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 13, страница 209.

Условие.

13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой вектор называется противоположным данному?

Вектор, противоположный данному ненулевому вектору $\vec{a}$, — это вектор, обозначаемый $-\vec{a}$, который имеет ту же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, и направлен в противоположную сторону.

Таким образом, для двух противоположных векторов $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ выполняются следующие условия:

1. Их длины равны: $|\vec{a}| = |-\vec{a}|$.
2. Они противоположно направлены (антиколлинеарны): $\vec{a} \uparrow\downarrow -\vec{a}$.

Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Если вектор задан начальной и конечной точками, например, $\vec{AB}$, то противоположным ему будет вектор $\vec{BA}$, то есть $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Противоположным нулевому вектору ($\vec{0}$) считается сам нулевой вектор.

Ответ: Вектор называется противоположным данному, если он имеет такую же длину и его направление противоположно направлению данного вектора.

Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Сначала дадим определение разности векторов. Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$. Записывается это так: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, что эквивалентно $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Формулировка теоремы:

Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их разность равна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. То есть, справедливо равенство:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Доказательство:

Пусть нам нужно доказать, что вектор $\vec{c} = \vec{a} + (-\vec{b})$ является разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Согласно определению разности векторов, мы должны показать, что сумма этого вектора $\vec{c}$ и вектора $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$, то есть, что выполняется равенство $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Рассмотрим сумму $\vec{c} + \vec{b}$:

$\vec{c} + \vec{b} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя сочетательное свойство (ассоциативность) сложения векторов, мы можем перегруппировать слагаемые:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов $(-\vec{b})$ и $\vec{b}$ по определению равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$(-\vec{b}) + \vec{b} = \vec{0}$

Подставим это в наше выражение:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b}) = \vec{a} + \vec{0}$

По свойству сложения с нулевым вектором, сумма любого вектора и нулевого вектора равна исходному вектору:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

А это, по определению разности, означает, что вектор $\vec{c}$ и есть разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Поскольку мы изначально определили $\vec{c}$ как $\vec{a} + (-\vec{b})$, мы можем заключить, что $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о разности векторов утверждает, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, то есть разность двух векторов равна сумме уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.