Номер 6, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Вопросы к главе 9 - номер 6, страница 209.

Условие.

6 Объясните смысл выражения: «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Объясните смысл выражения: «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A».

Это выражение означает, что построен вектор, начальной точкой которого является точка A, и этот вектор равен данному вектору $\vec{a}$. Если обозначить конечную точку построенного вектора буквой B, то получится вектор $\vec{AB}$, для которого выполняются следующие условия равенства вектору $\vec{a}$:

1. Длины векторов равны: $|\vec{AB}| = |\vec{a}|$.
2. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{a}$ сонаправлены (т.е. лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону).

Таким образом, "отложить вектор от точки" — это значит найти его конечную точку при условии, что начальная точка задана, а сам вектор должен быть равен данному.

Ответ: Выражение означает, что построен вектор, равный данному вектору $\vec{a}$, с началом в точке A.

Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Пусть дан вектор $\vec{a}$ и произвольная точка A. Требуется доказать, что существует единственная точка B, такая что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{a}$. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

1. Доказательство существования.

Рассмотрим два возможных случая:

• Если $\vec{a}$ — нулевой вектор ($\vec{a} = \vec{0}$), то его длина равна нулю. Вектор $\vec{AB}$ будет нулевым, если его начало A совпадает с его концом B. Следовательно, искомая точка B — это сама точка A. Вектор $\vec{AA}$ равен нулевому вектору $\vec{0}$, значит, от точки A можно отложить вектор, равный $\vec{0}$.
• Если $\vec{a}$ — ненулевой вектор, то он имеет определенное направление и положительную длину $|\vec{a}|$. Через точку A проведем прямую, параллельную прямой, содержащей вектор $\vec{a}$ (согласно аксиоме планиметрии, такая прямая существует и единственна). На этой прямой от точки A выберем луч, направление которого совпадает с направлением вектора $\vec{a}$. На этом луче от точки A отложим отрезок AB, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$ ($|AB| = |\vec{a}|$). По построению, полученный вектор $\vec{AB}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$ и их длины будут равны. Следовательно, по определению равенства векторов, $\vec{AB} = \vec{a}$.

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что от точки A можно отложить вектор, равный данному вектору $\vec{a}$.

2. Доказательство единственности.

Предположим, что от точки A можно отложить два разных вектора, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$, каждый из которых равен вектору $\vec{a}$.

Тогда $\vec{AB_1} = \vec{a}$ и $\vec{AB_2} = \vec{a}$, из чего следует, что $\vec{AB_1} = \vec{AB_2}$.

Из равенства векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$ следует, что:

• Они сонаправлены. Так как у них общее начало (точка A), то их концы ($B_1$ и $B_2$) должны лежать на одном и том же луче, выходящем из точки A.
• Их длины равны: $|\vec{AB_1}| = |\vec{AB_2}| = |\vec{a}|$.

На любом луче от его начальной точки можно отложить только один отрезок заданной длины. Поскольку точки $B_1$ и $B_2$ лежат на одном луче с началом в A и находятся на одинаковом расстоянии от A, они должны совпадать: $B_1 = B_2$.

Следовательно, векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$ также совпадают, что противоречит нашему предположению о том, что они были разными. Значит, от точки A можно отложить только один вектор, равный данному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Существование и единственность такого вектора доказываются на основе аксиом геометрии, в частности аксиомы о проведении параллельной прямой и аксиомы об откладывании отрезка заданной длины на луче.