Номер 799, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 799, страница 208.

Условие.

799 Дана равнобедренная трапеция $ABCD$. Перпендикуляр, проведённый из вершины $B$ к большему основанию $AD$, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр (высоту) $BH$ к основанию $AD$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$. Эта высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$.

Для нахождения связи между отрезками и основаниями проведем также высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle D$. Также равны боковые стороны: $AB = CD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они равны по гипотенузе и острому углу ($AB = CD$, $\angle A = \angle D$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (и, следовательно, $BC \parallel HK$), а $BH$ и $CK$ — перпендикуляры к $AD$. Значит, $BC = HK$.

Теперь рассмотрим отрезки, на которые высота $BH$ делит основание $AD$: $AH$ и $HD$.

Отрезок $HD$ можно представить как сумму отрезков $HK$ и $KD$: $HD = HK + KD$. Заменяя $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$, получаем: $HD = BC + AH$.

Поскольку длина основания $BC > 0$ и длина отрезка $AH > 0$, очевидно, что $HD = BC + AH > AH$. Следовательно, $HD$ — это больший из двух отрезков, на которые высота делит основание $AD$.

По условию задачи, длина этого большего отрезка равна 7 см. Таким образом, $HD = 7$ см.

Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле:$m = \frac{AD + BC}{2}$

Выразим сумму оснований $AD + BC$ через известные нам величины. Большее основание $AD$ равно сумме отрезков $AH$ и $HD$: $AD = AH + HD$. Тогда сумма оснований:$AD + BC = (AH + HD) + BC = AH + (HD + BC)$

Вспомним, что $HD = BC + AH$. Подставим это равенство в выражение для суммы оснований:$AD + BC = (AH + BC) + HD = HD + HD = 2HD$

Теперь мы можем найти среднюю линию:$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{2HD}{2} = HD$

Таким образом, длина средней линии трапеции равна длине большего отрезка, отсекаемого высотой на большем основании.

Подставим известное значение $HD = 7$ см:$m = 7$ см.

Ответ: 7 см.