Номер 792, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 792, страница 208.

Условие.

792 Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$.

Дано: $\triangle ABC$, $AM = MB$, $BN = NC$.

Доказать: 1) $MN \parallel AC$; 2) $MN = \frac{1}{2} AC$.

1. Продолжим среднюю линию $MN$ за точку $N$ и отложим на этом продолжении отрезок $ND$, равный $MN$. Таким образом, $MN = ND$.
2. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$. В них:
   • $BN = NC$ по условию (так как $N$ — середина $BC$).
   • $MN = ND$ по построению.
   • $\angle MNB = \angle DNC$ как вертикальные углы.
   Следовательно, $\triangle MBN = \triangle DCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны: $MB = DC$ и $\angle BMN = \angle CDN$.
4. Поскольку $M$ — середина $AB$, то $AM = MB$. Из этого и из $MB = DC$ следует, что $AM = DC$.
5. Рассмотрим прямые $AB$ и $DC$ и секущую $MD$. Углы $\angle BMN$ и $\angle CDN$ являются накрест лежащими. Так как они равны, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Следовательно, отрезок $AM$ (который лежит на прямой $AB$) также параллелен отрезку $DC$.
6. Рассмотрим четырёхугольник $AMDC$. В нём противоположные стороны $AM$ и $DC$ равны ($AM = DC$) и параллельны ($AM \parallel DC$). По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Значит, $AMDC$ — параллелограмм.
7. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны $MD$ и $AC$ также равны и параллельны.
   • Из $MD \parallel AC$ следует, что и часть отрезка $MD$, то есть отрезок $MN$, также параллелен $AC$. Таким образом, $MN \parallel AC$. Первая часть теоремы доказана.
   • Из $MD = AC$ и того факта, что по построению $MD = MN + ND = MN + MN = 2 \cdot MN$, следует, что $AC = 2 \cdot MN$. Отсюда $MN = \frac{1}{2} AC$. Вторая часть теоремы доказана.

Теорема доказана. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника доказана. Было показано, что средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.