Номер 788, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 788, страница 207.

Условие.

Применение векторов к решению задач

788 Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — медианы треугольника ABC. Тогда

$$ \vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}), \vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{BA}), \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) $$

(см. задачу 1, п. 87).

Сложив эти равенства, получим

$$ \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{CB} + \vec{BC})) = \vec{0}. $$

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ по правилу многоугольника (п. 84), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNP на рисунке 267).

Рис. 267

$\vec{MN} = \vec{AA_1}$

$\vec{NP} = \vec{BB_1}$

$\vec{PM} = \vec{CC_1}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.