Номер 788, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 788, страница 207.

Условие.

Применение векторов к решению задач

788 Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — медианы треугольника ABC. Тогда

$$ \vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}), \vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{BA}), \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) $$

(см. задачу 1, п. 87).

Сложив эти равенства, получим

$$ \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{CB} + \vec{BC})) = \vec{0}. $$

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ по правилу многоугольника (п. 84), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNP на рисунке 267).

Рис. 267

$\vec{MN} = \vec{AA_1}$

$\vec{NP} = \vec{BB_1}$

$\vec{PM} = \vec{CC_1}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1, BB_1, CC_1$. Выразим векторы, соответствующие этим медианам, через векторы сторон треугольника, выходящих из тех же вершин.

Вектор медианы, проведенной из вершины треугольника, равен полусумме векторов сторон, выходящих из этой вершины.
$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$
$\vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Найдем сумму векторов этих медиан:
$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) + \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ и сгруппируем слагаемые:
$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2} [(\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{BC} + \vec{CB})]$

По определению противоположных векторов, $\vec{BA} = -\vec{AB}$, $\vec{CA} = -\vec{AC}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Следовательно, каждая сумма в круглых скобках равна нулевому вектору:
$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$
$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$
$\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}$
Таким образом, сумма векторов медиан равна:
$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2} (\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}) = \vec{0}$

Если сумма трех ненулевых векторов равна нулевому вектору, то из отрезков, соответствующих этим векторам, можно составить треугольник. Для этого нужно отложить эти векторы последовательно друг за другом (по правилу многоугольника): начало второго вектора совместить с концом первого, а начало третьего — с концом второго. Так как сумма векторов равна нулю, конец третьего вектора совпадет с началом первого, образуя замкнутую фигуру — треугольник.

Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине медианам $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$.

Ответ: Существование такого треугольника доказано.