Номер 789, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 789, страница 207.

Условие.

789 На сторонах треугольника $ABC$ построены параллелограммы $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$, $ACC_2A_1$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольное начало координат. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, а радиус-векторы точек $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ как $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{c_1}, \vec{c_2}$ соответственно.

По условию задачи, на сторонах треугольника $ABC$ построены параллелограммы $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $ACC_2A_1$. Из определения параллелограмма (равенство и параллельность противоположных сторон) следуют векторные равенства:

• Из параллелограмма $ABB_1A_2$: $\vec{AA_2} = \vec{BB_1}$.
• Из параллелограмма $BCC_1B_2$: $\vec{BB_2} = \vec{CC_1}$.
• Из параллелограмма $ACC_2A_1$: $\vec{CC_2} = \vec{AA_1}$.

Введем вспомогательные векторы, характеризующие "боковые" стороны параллелограммов:

• $\vec{u} = \vec{AA_2}$, тогда и $\vec{BB_1} = \vec{u}$.
• $\vec{v} = \vec{BB_2}$, тогда и $\vec{CC_1} = \vec{v}$.
• $\vec{w} = \vec{CC_2}$, тогда и $\vec{AA_1} = \vec{w}$.

Теперь выразим радиус-векторы вершин $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ через радиус-векторы вершин треугольника $ABC$ и введенные векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$:

• $\vec{a_1} = \vec{a} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{w}$
• $\vec{a_2} = \vec{a} + \vec{AA_2} = \vec{a} + \vec{u}$
• $\vec{b_1} = \vec{b} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{u}$
• $\vec{b_2} = \vec{b} + \vec{BB_2} = \vec{b} + \vec{v}$
• $\vec{c_1} = \vec{c} + \vec{CC_1} = \vec{c} + \vec{v}$
• $\vec{c_2} = \vec{c} + \vec{CC_2} = \vec{c} + \vec{w}$

Для доказательства того, что из отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ можно составить треугольник, необходимо и достаточно показать, что сумма векторов, соответствующих этим отрезкам, равна нулевому вектору: $\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}$.

Найдем эти векторы:

• $\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\vec{a} + \vec{u}) - (\vec{a} + \vec{w}) = \vec{u} - \vec{w}$
• $\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1} = (\vec{b} + \vec{v}) - (\vec{b} + \vec{u}) = \vec{v} - \vec{u}$
• $\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1} = (\vec{c} + \vec{w}) - (\vec{c} + \vec{v}) = \vec{w} - \vec{v}$

Теперь сложим полученные векторы:

$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = (\vec{u} - \vec{w}) + (\vec{v} - \vec{u}) + (\vec{w} - \vec{v})$

Перегруппировав слагаемые, получаем:

$(\vec{u} - \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{v}) + (\vec{w} - \vec{w}) = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Так как сумма векторов $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ равна нулю, из отрезков, равных и параллельных данным векторам, можно составить замкнутую фигуру — треугольник (в вырожденном случае, когда векторы коллинеарны, отрезки ложатся на одну прямую). Таким образом, существование искомого треугольника доказано.

Ответ: Утверждение доказано.