Номер 790, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 790, страница 208.

Условие.

790 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Рассмотрим точку $K$ — середину боковой стороны $AB$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KN$ параллельна стороне $AD$ и равна ее половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

Аналогично, в треугольнике $ABC$ отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

По определению трапеции, ее основания параллельны друг другу: $AD \parallel BC$. Так как $KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$, то отрезки $KN$ и $KM$ параллельны одной и той же прямой, а значит, они параллельны между собой: $KN \parallel KM$.

Поскольку отрезки $KN$ и $KM$ имеют общую точку $K$ и параллельны друг другу, они лежат на одной прямой (согласно аксиоме параллельности). Это означает, что точки $K, M, N$ коллинеарны. Так как прямая, на которой лежат эти точки, параллельна $AD$ (по свойству $KN$), то и отрезок $MN$, являющийся ее частью, также параллелен основанию $AD$ и, следовательно, основанию $BC$. Первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем длину отрезка $MN$. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ равна модулю разности длин отрезков $KN$ и $KM$. Пусть для определенности $AD > BC$, тогда $KN > KM$, и точка $M$ лежит между $K$ и $N$. В этом случае:$MN = KN - KM$

Подставляя выражения для длин $KN$ и $KM$, получаем:$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их полуразности.

Ответ: Что и требовалось доказать.