Номер 783, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 783, страница 206.

Условие.

783 □ Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, причём $BM : MC = 3 : 1$. Выразите векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AD}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам и имеющие одинаковое направление, равны: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.
По условию задачи, $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB}$. Отсюда следует, что $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{CD}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{DC}$, поэтому $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$ и делит её в отношении $BM : MC = 3:1$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ длины стороны $BC$, а длина $MC$ составляет $\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ длины $BC$. Так как векторы $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{MC}$ сонаправлены с вектором $\overrightarrow{BC}$, мы можем записать:
$\overrightarrow{BM} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{MC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a}$

Выражение вектора $\overrightarrow{AM}$
Для нахождения вектора $\overrightarrow{AM}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $ABM$:
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$
Подставим известные выражения для векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BM}$:
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \frac{3}{4} \overrightarrow{a}$
Ответ: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \frac{3}{4}\overrightarrow{a}$

Выражение вектора $\overrightarrow{MD}$
Для нахождения вектора $\overrightarrow{MD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $MCD$:
$\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CD}$
Подставим ранее найденные выражения для векторов $\overrightarrow{MC}$ и $\overrightarrow{CD}$:
$\overrightarrow{MD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b}) = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
Ответ: $\overrightarrow{MD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$