Номер 776, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 776, страница 206.

Условие.

776 Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ и постройте векторы:

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$;

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$;

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$;

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$;

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$.

Выполните задания а) — е) для двух коллинеарных ненулевых векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение для неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$

Сначала начертим два неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$, отложенных из одной точки O. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$

Чтобы построить вектор-сумму, выполним следующие шаги:

1. Строим вектор $2\vec{y}$. Этот вектор имеет то же направление, что и вектор $\vec{y}$, но его длина в два раза больше.
2. Для сложения векторов $\vec{x}$ и $2\vec{y}$ используем правило параллелограмма. Откладываем оба вектора от одной начальной точки O. Затем достраиваем на этих векторах параллелограмм.
3. Диагональ этого параллелограмма, исходящая из точки O, будет искомым вектором $\vec{x} + 2\vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{x}$ и $2\vec{y}$, исходящих из одной точки.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$

Построение аналогично предыдущему пункту, так как сложение векторов коммутативно: $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x} = \vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$.

1. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{y}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{y}$.
2. Складываем векторы $\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ по правилу параллелограмма, отложив их от одной точки.
3. Диагональ параллелограмма, исходящая из общей начальной точки, и есть искомый вектор.

Ответ: Искомый вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$

Для построения этого вектора:

1. Строим вектор $3\vec{x}$. Он сонаправлен вектору $\vec{x}$ и его длина в три раза больше.
2. Строим вектор $\frac{1}{2}\vec{y}$. Он сонаправлен вектору $\vec{y}$ и его длина в два раза меньше.
3. Складываем полученные векторы $3\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$ по правилу параллелограмма.

Ответ: Искомый вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $3\vec{x}$ и $\frac{1}{2}\vec{y}$.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$

Данное выражение можно представить как сумму векторов: $\frac{3}{2}\vec{x} + (-3\vec{y})$.

1. Строим вектор $\frac{3}{2}\vec{x}$. Он сонаправлен вектору $\vec{x}$ и его длина в 1,5 раза больше.
2. Строим вектор $-3\vec{y}$. Этот вектор направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{y}$, а его длина в три раза больше.
3. Складываем векторы $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $-3\vec{y}$ по правилу параллелограмма или треугольника.

Ответ: Искомый вектор является результатом сложения векторов $\frac{3}{2}\vec{x}$ и $-3\vec{y}$.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$

Выражение упрощается до $4\vec{y}$, так как $0\vec{x}$ — это нулевой вектор.

Для построения нужно начертить вектор, который:

1. Сонаправлен вектору $\vec{y}$.
2. Имеет длину в четыре раза большую, чем у вектора $\vec{y}$.

Ответ: Вектор $4\vec{y}$, который сонаправлен вектору $\vec{y}$ и в 4 раза длиннее его.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$

Выражение упрощается до $-2\vec{x}$, так как $0\vec{y}$ — это нулевой вектор.

Для построения нужно начертить вектор, который:

1. Направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{x}$.
2. Имеет длину в два раза большую, чем у вектора $\vec{x}$.

Ответ: Вектор $-2\vec{x}$, который противоположен вектору $\vec{x}$ и в 2 раза длиннее его.

---

Решение для коллинеарных ненулевых векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это значит, что существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{y} = k \vec{x}$. Все операции (сложение, вычитание, умножение на число) с коллинеарными векторами приводят к вектору, коллинеарному исходным. Построение сводится к действиям с векторами, лежащими на одной прямой.

Рассмотрим общий случай $\vec{y} = k\vec{x}$ и приведем примеры для сонаправленных ($k>0$) и противоположно направленных ($k<0$) векторов.

а) $\vec{x} + 2\vec{y}$

Подставляем $\vec{y} = k\vec{x}$: $\vec{x} + 2(k\vec{x}) = \vec{x} + 2k\vec{x} = (1 + 2k)\vec{x}$.
Пример 1 (сонаправленные, $k=2$): Пусть $\vec{y} = 2\vec{x}$. Тогда $\vec{x} + 2(2\vec{x}) = 5\vec{x}$. Результирующий вектор сонаправлен $\vec{x}$ и в 5 раз длиннее.
Пример 2 (противоположно направленные, $k=-1$): Пусть $\vec{y} = -\vec{x}$. Тогда $\vec{x} + 2(-\vec{x}) = -\vec{x}$. Результирующий вектор противоположен $\vec{x}$ и имеет ту же длину.

Ответ: Вектор $(1+2k)\vec{x}$, коллинеарный вектору $\vec{x}$.

б) $\frac{1}{2}\vec{y} + \vec{x}$

Подставляем $\vec{y} = k\vec{x}$: $\vec{x} + \frac{1}{2}(k\vec{x}) = (1 + \frac{k}{2})\vec{x}$.
Пример 1 (сонаправленные, $k=2$): Пусть $\vec{y} = 2\vec{x}$. Тогда $\vec{x} + \frac{1}{2}(2\vec{x}) = 2\vec{x}$. Вектор сонаправлен $\vec{x}$ и в 2 раза длиннее.
Пример 2 (противоположно направленные, $k=-2$): Пусть $\vec{y} = -2\vec{x}$. Тогда $\vec{x} + \frac{1}{2}(-2\vec{x}) = \vec{x} - \vec{x} = \vec{0}$ (нулевой вектор).

Ответ: Вектор $(1 + \frac{k}{2})\vec{x}$, коллинеарный вектору $\vec{x}$.

в) $3\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$

Подставляем $\vec{y} = k\vec{x}$: $3\vec{x} + \frac{1}{2}(k\vec{x}) = (3 + \frac{k}{2})\vec{x}$.
Пример (сонаправленные, $k=2$): Пусть $\vec{y} = 2\vec{x}$. Тогда $3\vec{x} + \frac{1}{2}(2\vec{x}) = 4\vec{x}$. Вектор сонаправлен $\vec{x}$ и в 4 раза длиннее.

Ответ: Вектор $(3 + \frac{k}{2})\vec{x}$, коллинеарный вектору $\vec{x}$.

г) $1\frac{1}{2}\vec{x} - 3\vec{y}$

Подставляем $\vec{y} = k\vec{x}$: $\frac{3}{2}\vec{x} - 3(k\vec{x}) = (\frac{3}{2} - 3k)\vec{x}$.
Пример (сонаправленные, $k=1$): Пусть $\vec{y} = \vec{x}$. Тогда $\frac{3}{2}\vec{x} - 3\vec{x} = -\frac{3}{2}\vec{x}$. Вектор противоположен $\vec{x}$ и в 1,5 раза длиннее.

Ответ: Вектор $(\frac{3}{2} - 3k)\vec{x}$, коллинеарный вектору $\vec{x}$.

д) $0\vec{x} + 4\vec{y}$

Выражение равно $4\vec{y}$. Подставляем $\vec{y} = k\vec{x}$: $4(k\vec{x}) = (4k)\vec{x}$.
Пример (сонаправленные, $k=2$): Пусть $\vec{y} = 2\vec{x}$. Тогда результат $4(2\vec{x})=8\vec{x}$. Вектор сонаправлен $\vec{x}$ и в 8 раз длиннее.

Ответ: Вектор $4\vec{y}$ или $(4k)\vec{x}$, коллинеарный исходным векторам.

е) $-2\vec{x} + 0\vec{y}$

Выражение равно $-2\vec{x}$. Этот вектор не зависит от вектора $\vec{y}$. Он всегда противоположен вектору $\vec{x}$ и вдвое длиннее его.

Ответ: Вектор $-2\vec{x}$, коллинеарный вектору $\vec{x}$.