Номер 777, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач - номер 777, страница 206.

Условие.

777 Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$, начала которых не совпадают. Постройте векторы $\vec{m} = 2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$, $\vec{n} = \vec{p} + 3\vec{q}$, $\vec{l} = -2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$, $\vec{s} = \frac{2}{3}\vec{q} - \vec{p}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Сначала начертим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$, у которых начальные точки не совпадают. Для выполнения операций сложения и вычитания векторов, а также умножения на число, необходимо привести их к общему началу. Выберем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы, равные данным. Все дальнейшие построения будем выполнять из точки $O$.

Построение вектора $\vec{m} = 2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Для построения вектора $\vec{m}$ выполним следующие шаги:

1. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OC} = 2\vec{p}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{p}$ и имеет вдвое большую длину: $|\vec{OC}| = 2|\vec{p}|$.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OD} = -\frac{1}{2}\vec{q}$. Этот вектор направлен противоположно вектору $\vec{q}$ и имеет длину, равную половине длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{OD}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$.
3. Искомый вектор $\vec{m}$ является векторной суммой $\vec{OC} + \vec{OD}$. Построим его по правилу параллелограмма. Для этого на векторах $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ как на сторонах строим параллелограмм $OCMD$. Диагональ этого параллелограмма, исходящая из точки $O$, и будет вектором $\vec{m}$.

Ответ: Построение вектора $\vec{m}$ показано на рисунке.

Построение вектора $\vec{n} = \vec{p} + 3\vec{q}$

Для построения вектора $\vec{n}$ выполним следующие шаги:

1. Вектор $\vec{p}$ у нас уже отложен от точки $O$.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OE} = 3\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{q}$ и имеет втрое большую длину: $|\vec{OE}| = 3|\vec{q}|$.
3. Искомый вектор $\vec{n}$ является векторной суммой $\vec{p} + 3\vec{q}$. Построим его по правилу параллелограмма на векторах $\vec{p}$ и $3\vec{q}$. Диагональ параллелограмма, исходящая из точки $O$, и будет вектором $\vec{n}$.

Ответ: Построение вектора $\vec{n}$ показано на рисунке.

Построение вектора $\vec{l} = -2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Для построения вектора $\vec{l}$ выполним следующие шаги:

1. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OG} = -2\vec{p}$. Этот вектор направлен противоположно вектору $\vec{p}$ и имеет вдвое большую длину: $|\vec{OG}| = 2|\vec{p}|$.
2. Вектор $-\frac{1}{2}\vec{q}$ уже был построен ранее. Отложим его от точки $O$.
3. Искомый вектор $\vec{l}$ является векторной суммой $(-2\vec{p}) + (-\frac{1}{2}\vec{q})$. Построим его по правилу параллелограмма на векторах $\vec{OG}$ и $-\frac{1}{2}\vec{q}$. Диагональ параллелограмма, исходящая из точки $O$, и будет вектором $\vec{l}$.

Ответ: Построение вектора $\vec{l}$ показано на рисунке.

Построение вектора $\vec{s} = \frac{2}{3}\vec{q} - \vec{p}$

Для удобства построения запишем выражение в виде $\vec{s} = (-\vec{p}) + \frac{2}{3}\vec{q}$. Выполним следующие шаги:

1. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OH} = -\vec{p}$. Этот вектор направлен противоположно вектору $\vec{p}$ и имеет ту же длину: $|\vec{OH}| = |\vec{p}|$.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OK} = \frac{2}{3}\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{q}$ и имеет длину, равную $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{OK}| = \frac{2}{3}|\vec{q}|$. Для этого можно разделить отрезок, изображающий вектор $\vec{q}$, на три равные части и взять две из них.
3. Искомый вектор $\vec{s}$ является векторной суммой $(-\vec{p}) + (\frac{2}{3}\vec{q})$. Построим его по правилу параллелограмма на векторах $\vec{OH}$ и $\vec{OK}$. Диагональ параллелограмма, исходящая из точки $O$, и будет вектором $\vec{s}$.

Ответ: Построение вектора $\vec{s}$ показано на рисунке.