Номер 770, страница 201 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 770, страница 201.

Условие.

770 □ Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор $\vec{AC}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

a) $\vec{a} = \vec{AB}, \vec{b} = \vec{BC};$

б) $\vec{a} = \vec{CB}, \vec{b} = \vec{CD};$

в) $\vec{a} = \vec{AB}, \vec{b} = \vec{DA}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи используется правило сложения векторов и свойства векторов в параллелограмме. В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов, составляющих путь из точки $A$ в точку $C$. По правилу треугольника, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Также в параллелограмме $ABCD$ справедливы следующие равенства для векторов сторон: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Векторы, направленные в противоположные стороны, связаны соотношением $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

а)Дано: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{BC}$.
Для нахождения вектора $\vec{AC}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов, так как конец первого вектора ($\vec{AB}$) совпадает с началом второго ($\vec{BC}$):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Подставляем данные значения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в это равенство:
$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

б)Дано: $\vec{a} = \vec{CB}$, $\vec{b} = \vec{CD}$.
Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ исходят из одной вершины $C$. По правилу параллелограмма, сумма векторов, исходящих из одной вершины, равна вектору диагонали, исходящей из той же вершины. Следовательно:
$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD}$.
Подставим данные значения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{CA} = \vec{a} + \vec{b}$.
Нам необходимо найти вектор $\vec{AC}$, который является противоположным вектору $\vec{CA}$ ($\vec{AC} = -\vec{CA}$):
$\vec{AC} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{AC} = -\vec{a} - \vec{b}$.

в)Дано: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{DA}$.
Используем правило треугольника для выражения вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Вектор $\vec{AB}$ нам дан: $\vec{AB} = \vec{a}$.
Теперь выразим вектор $\vec{BC}$ через заданные векторы. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA}$.
Так как по условию $\vec{b} = \vec{DA}$, то $\vec{AD} = -\vec{b}$.
Таким образом, $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{b}$.
Подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} - \vec{b}$.