Номер 764, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 764, страница 200.

Условие.

764 Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:

а) ($ \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC} $) + ($ \vec{MD} - \vec{KD} $);

б) ($ \vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD} $) - ($ \vec{MK} + \vec{KD} $).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD})$

Для упрощения этого выражения будем использовать правило многоугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов и правило вычитания векторов. Правило многоугольника гласит, что сумма векторов, построенных последовательно (конец одного является началом другого), равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего: $\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}$.

Правило вычитания векторов: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Также верно, что $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

1. Упростим выражение в первой скобке: $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC})$.

По правилу многоугольника (в данном случае, треугольника), сумма векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Теперь выражение в первой скобке принимает вид: $\vec{AC} - \vec{MC}$.

Чтобы вычесть вектор $\vec{MC}$, прибавим противоположный ему вектор $\vec{CM}$:

$\vec{AC} - \vec{MC} = \vec{AC} + \vec{CM}$

Снова применяем правило многоугольника:

$\vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AM}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $(\vec{MD} - \vec{KD})$.

Применим правило вычитания векторов:

$\vec{MD} - \vec{KD} = \vec{MD} + \vec{DK}$

Используем правило многоугольника (для удобства можно поменять слагаемые местами):

$\vec{DK} + \vec{MD} = \vec{MK}$

3. Сложим результаты, полученные для каждой из скобок:

$\vec{AM} + \vec{MK}$

В последний раз применяем правило многоугольника:

$\vec{AM} + \vec{MK} = \vec{AK}$

Ответ: $\vec{AK}$

б) $(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD}) - (\vec{MK} + \vec{KD})$

Воспользуемся теми же правилами, что и в пункте а).

1. Упростим выражение в первой скобке: $(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD})$.

Сложение векторов коммутативно, поэтому мы можем изменить порядок слагаемых для удобства применения правила многоугольника:

$\vec{AC} + \vec{CB} + \vec{BD}$

Сначала сложим первые два вектора:

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Теперь выражение в скобках выглядит так: $\vec{AB} + \vec{BD}$.

Снова применяем правило многоугольника:

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $(\vec{MK} + \vec{KD})$.

Это прямое применение правила многоугольника:

$\vec{MK} + \vec{KD} = \vec{MD}$

3. Вычтем результат второй скобки из результата первой:

$\vec{AD} - \vec{MD}$

Применим правило вычитания, заменив вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\vec{AD} - \vec{MD} = \vec{AD} + \vec{DM}$

Используем правило многоугольника:

$\vec{AD} + \vec{DM} = \vec{AM}$

Ответ: $\vec{AM}$