Номер 757, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 757, страница 200.

Условие.

757. Начертите векторы $ \vec{x} $, $ \vec{y} $ и $ \vec{z} $ так, чтобы $ \vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y} $, $ \vec{x} \uparrow\downarrow \vec{z} $. Постройте векторы $ \vec{x} + \vec{y} $, $ \vec{y} - \vec{z} $, $ \vec{x} + \vec{z} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены ($\vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y}$), а векторы $\vec{x}$ и $\vec{z}$ противоположно направлены ($\vec{x} \uparrow\downarrow \vec{z}$). Это означает, что все три вектора $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Для построения начертим эти векторы. Выберем произвольный ненулевой вектор $\vec{x}$. Вектор $\vec{y}$ будет направлен в ту же сторону, что и $\vec{x}$, а вектор $\vec{z}$ — в противоположную сторону. Длины векторов могут быть произвольными.

Построение вектора $\vec{x} + \vec{y}$

Для построения суммы векторов используется правило последовательного откладывания векторов (правило треугольника).

1. Выберем произвольную точку $A$.
2. От точки $A$ отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{x}$.
3. От конца первого вектора, точки $B$, отложим вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{y}$.
4. Вектор $\vec{AC}$, соединяющий начало первого вектора с концом второго, является их суммой: $\vec{AC} = \vec{x} + \vec{y}$.

Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, точки $A$, $B$, и $C$ окажутся на одной прямой. Результирующий вектор $\vec{x} + \vec{y}$ будет сонаправлен с векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Его длина будет равна сумме длин исходных векторов: $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{y}$ сонаправлен с векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$, а его длина равна сумме их длин $|\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Построение вектора $\vec{y} - \vec{z}$

Разность векторов $\vec{y} - \vec{z}$ определяется как сумма вектора $\vec{y}$ и вектора $(-\vec{z})$, который противоположен вектору $\vec{z}$.

Вектор $-\vec{z}$ имеет ту же длину, что и $\vec{z}$, но противоположное направление. По условию $\vec{x} \uparrow\downarrow \vec{z}$, следовательно, $-\vec{z}$ сонаправлен с $\vec{x}$ ($-\vec{z} \uparrow\uparrow \vec{x}$). Так как $\vec{x} \uparrow\uparrow \vec{y}$, то и векторы $\vec{y}$ и $-\vec{z}$ сонаправлены.

Таким образом, построение сводится к сложению двух сонаправленных векторов $\vec{y}$ и $-\vec{z}$.

1. Выберем произвольную точку $D$.
2. От точки $D$ отложим вектор $\vec{DE} = \vec{y}$.
3. От точки $E$ отложим вектор $\vec{EF} = -\vec{z}$.
4. Вектор $\vec{DF}$ является искомой разностью: $\vec{DF} = \vec{y} - \vec{z}$.

Результирующий вектор $\vec{y} - \vec{z}$ сонаправлен с вектором $\vec{y}$. Его длина равна сумме длин векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$: $|\vec{y} - \vec{z}| = |\vec{y}| + |-\vec{z}| = |\vec{y}| + |\vec{z}|$.

Ответ: Вектор $\vec{y} - \vec{z}$ сонаправлен с вектором $\vec{y}$ (и $\vec{x}$), а его длина равна сумме длин $|\vec{y}| + |\vec{z}|$.

Построение вектора $\vec{x} + \vec{z}$

Для построения суммы $\vec{x} + \vec{z}$ используем то же правило последовательного откладывания векторов. В данном случае векторы $\vec{x}$ и $\vec{z}$ противоположно направлены.

1. Выберем произвольную точку $G$.
2. От точки $G$ отложим вектор $\vec{GH} = \vec{x}$.
3. От точки $H$ отложим вектор $\vec{HK} = \vec{z}$.
4. Вектор $\vec{GK}$ является суммой векторов: $\vec{GK} = \vec{x} + \vec{z}$.

Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{z}$ направлены в противоположные стороны, при откладывании от точки $H$ вектор $\vec{HK}$ будет направлен обратно в сторону точки $G$. Направление и модуль результирующего вектора $\vec{GK}$ зависят от соотношения длин $|\vec{x}|$ и $|\vec{z}|$:

• Если $|\vec{x}| > |\vec{z}|$, то результирующий вектор $\vec{x} + \vec{z}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{x}$, а его длина будет равна разности длин: $|\vec{x} + \vec{z}| = |\vec{x}| - |\vec{z}|$.
• Если $|\vec{x}| < |\vec{z}|$, то результирующий вектор $\vec{x} + \vec{z}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{z}$ (то есть противоположно направлен вектору $\vec{x}$), а его длина будет равна: $|\vec{x} + \vec{z}| = |\vec{z}| - |\vec{x}|$.
• Если $|\vec{x}| = |\vec{z}|$, то точка $K$ совпадет с точкой $G$, и сумма векторов будет равна нулевому вектору: $\vec{x} + \vec{z} = \vec{0}$, длина которого равна 0.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{z}$ коллинеарен исходным векторам. Его направление совпадает с направлением вектора с большей длиной (или он является нулевым, если длины равны), а его длина равна модулю разности длин исходных векторов: $|\vec{x} + \vec{z}| = \left| |\vec{x}| - |\vec{z}| \right|$.