Номер 752, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 752, страница 194.

Условие.

752 Верно ли утверждение:

а) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$;

б) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны;

в) если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \downarrow \uparrow \vec{b}$;

г) если $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$;

д) если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются равными, если они сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и их длины равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$). Условие сонаправленности является частью определения равенства векторов. Следовательно, если векторы равны, они по определению сонаправлены. Это верно и для случая, когда оба вектора нулевые, так как нулевой вектор по соглашению считается сонаправленным любому вектору.
Ответ: Верно.

б) Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Сонаправленные векторы ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположно направленные векторы ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) являются частными случаями коллинеарных векторов. Из пункта а) мы знаем, что если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. А раз они сонаправлены, то они и коллинеарны.
Ответ: Верно.

в) Противоположно направленные векторы ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) имеют противоположные направления. Равные векторы ($\vec{a} = \vec{b}$) по определению имеют одинаковое направление. Для любого ненулевого вектора $\vec{a}$, он равен сам себе, но не может быть направлен в противоположную сторону самому себе. Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

г) Сонаправленные векторы ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) имеют одинаковое направление, но их длины могут быть разными. Для равенства векторов ($\vec{a} = \vec{b}$) необходимо, чтобы были равны и их длины. Например, если взять вектор $\vec{a}$ и вектор $\vec{b} = 2\vec{a}$ (где $\vec{a} \neq \vec{0}$), то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут сонаправлены, но их длины будут отличаться в два раза ($|\vec{b}| = 2|\vec{a}|$), а значит, они не равны.
Ответ: Неверно.

д) Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным и сонаправленным любому вектору $\vec{b}$. Это следует из определения коллинеарности через умножение на скаляр: два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то мы можем взять $k=0$, и равенство $\vec{0} = 0 \cdot \vec{b}$ будет выполняться для любого вектора $\vec{b}$. Поскольку коэффициент $k=0$ является неотрицательным, векторы по определению считаются сонаправленными.
Ответ: Верно.