Номер 753, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов - номер 753, страница 200.

Условие.

753 Турист прошёл 20 км на восток из города A в город B, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Равны ли векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Начертите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Для того чтобы начертить векторы, необходимо выбрать масштаб. Учитывая, что расстояния равны 20 км и 30 км, удобным будет следующий масштаб: 10 км на местности соответствуют 1 см на чертеже.

Движение туриста происходит на восток. На чертеже примем это направление за движение вправо по горизонтальной линии.

1. Отмечаем на листе произвольную точку A — начальный пункт.

2. Турист прошел 20 км на восток в город B. Это перемещение изображается вектором $\vec{AB}$. Длина этого вектора в нашем масштабе будет равна $20 \text{ км} / 10 \text{ км/см} = 2 \text{ см}$. От точки A откладываем вправо отрезок длиной 2 см, ставим на его конце стрелку и обозначаем точку B.

3. Затем турист прошел еще 30 км на восток в город C. Это перемещение изображается вектором $\vec{BC}$. Его длина в масштабе будет равна $30 \text{ км} / 10 \text{ км/см} = 3 \text{ см}$. Из точки B откладываем вправо отрезок длиной 3 см, ставим на его конце стрелку и обозначаем точку C.

В результате точки A, B и C лежат на одной прямой, а векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (направлены в одну сторону).

Равны ли векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$?

Да, эти векторы равны. Это прямо следует из правила сложения векторов (правило треугольника или правило многоугольника).

По определению, суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, где начало второго вектора совпадает с концом первого, является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка А), а конец — с концом второго вектора (точка С). Таким образом, по определению $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Можно также сравнить характеристики этих векторов:

1. Вектор $\vec{AC}$ — это вектор, характеризующий общее перемещение из начальной точки A в конечную точку C.

• Направление: восток, так как оба этапа пути были на восток.
• Длина (модуль): $|\vec{AC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50 \text{ км}$.

2. Вектор-сумма $\vec{AB} + \vec{BC}$.

• Направление: так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (оба на восток), их сумма будет иметь то же самое направление — восток.
• Длина (модуль): так как векторы сонаправлены, модуль их суммы равен сумме их модулей: $|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 20 \text{ км} + 30 \text{ км} = 50 \text{ км}$.

Поскольку векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ имеют одинаковое направление (восток) и одинаковую длину (50 км), они равны.

Ответ: Да, векторы $\vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равны, что является следствием правила сложения векторов.