Номер 748, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 748, страница 194.

Условие.

748 Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

Равны ли векторы:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

б) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

в) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$;

г) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся определением равных векторов и свойствами параллелограмма. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (то есть коллинеарны и направлены в одну сторону) и их длины (модули) равны.

а) В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны ($AB \parallel DC$) и равны по длине ($|AB| = |DC|$). Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки $A$ к точке $B$. Вектор $\vec{DC}$ направлен от точки $D$ к точке $C$. Так как стороны параллельны, а последовательность вершин в названиях векторов (первая-вторая) соответствует направлению обхода вершин параллелограмма, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Их длины равны, так как это длины противоположных сторон параллелограмма. Следовательно, векторы равны.
Ответ: Да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны.

б) В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны по длине. Значит, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ коллинеарны и их модули равны: $|\vec{BC}| = |\vec{DA}|$. Однако вектор $\vec{BC}$ направлен от точки $B$ к $C$, а вектор $\vec{DA}$ — от точки $D$ к $A$. Эти направления противоположны. Векторы, направленные в противоположные стороны, не могут быть равны. Такие векторы называются противоположными ($\vec{BC} = -\vec{DA}$).
Ответ: Нет, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ не равны.

в) По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это значит, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Следовательно, длины отрезков $AO$ и $OC$ равны: $|AO| = |OC|$. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой $AC$. Вектор $\vec{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\vec{OC}$ — от $O$ к $C$. Оба вектора имеют одинаковое направление вдоль диагонали $AC$. Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: Да, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ равны.

г) Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — это векторы, лежащие на диагоналях параллелограмма. В общем случае диагонали параллелограмма не параллельны (они пересекаются в точке $O$), поэтому векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны. Кроме того, в общем случае длины диагоналей параллелограмма не равны ($|AC| \neq |BD|$). Так как векторы не коллинеарны, они не могут быть равны.
Ответ: Нет, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не равны.