Номер 742, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 742, страница 194.

Условие.

742 Начертите два вектора:

а) имеющие равные длины и неколлинеарные;

б) имеющие равные длины и сонаправленные;

в) имеющие равные длины и противоположно направленные.

В каком случае полученные векторы равны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения, связанные с векторами.

а) имеющие равные длины и неколлинеарные

Два вектора называются неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Условие, что они имеют равные длины, означает, что их модули равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Так как векторы неколлинеарны, их направления не совпадают и не являются противоположными. Примером могут служить два вектора одинаковой длины, отложенные от одной точки под углом, не равным $0^\circ$ или $180^\circ$. Такие векторы не равны.
Ответ: Пример — два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с равными длинами ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), которые не лежат на параллельных прямых.

б) имеющие равные длины и сонаправленные

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (т. е. коллинеарны) и направлены в одну сторону. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. По условию, их длины также равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. По определению, два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Таким образом, в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $\vec{a} = \vec{b}$.
Ответ: Пример — два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, для которых выполняется условие $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ и $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

в) имеющие равные длины и противоположно направленные

Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны, но направлены в противоположные стороны. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. Их длины, по условию, равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Такие векторы не являются равными, их называют противоположными. Для них выполняется соотношение $\vec{a} = -\vec{b}$.
Ответ: Пример — два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, для которых выполняется условие $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ и $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

В каком случае полученные векторы равны?

Согласно определению равенства векторов, два вектора равны, если они одновременно удовлетворяют двум условиям:
1. Их длины (модули) равны.
2. Они сонаправлены.
Эти два условия в точности соответствуют случаю, описанному в пункте б).
Ответ: Векторы равны в случае б).