Номер 743, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора - номер 743, страница 194.

Условие.

743 Начертите ненулевой вектор $ \vec{a} $ и отметьте на плоскости три точки $A$, $B$ и $C$. Отложите от точек $A$, $B$ и $C$ векторы, равные $ \vec{a} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений.

Сначала начертим на плоскости произвольный ненулевой вектор $\vec{a}$. Ненулевой вектор — это вектор, длина которого строго больше нуля. Вектор представляет собой направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением. Затем отметим на плоскости три произвольные точки $A$, $B$ и $C$.

Задача состоит в том, чтобы от каждой из точек $A$, $B$ и $C$ отложить (построить) вектор, равный исходному вектору $\vec{a}$. Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Рассмотрим построение для точки $A$. Нам нужно найти такую точку $A'$, чтобы вектор с началом в $A$ и концом в $A'$ (то есть вектор $\vec{AA'}$) был равен вектору $\vec{a}$.
Это можно сделать, используя циркуль и линейку. Алгоритм построения следующий:
- Через точку $A$ проводим прямую, параллельную прямой, на которой лежит вектор $\vec{a}$.
- Измеряем длину вектора $\vec{a}$ с помощью циркуля.
- На построенной параллельной прямой откладываем от точки $A$ отрезок, равный по длине вектору $\vec{a}$, в том же направлении, в котором направлен $\vec{a}$.
- Конец этого отрезка и будет искомой точкой $A'$. Полученный вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Аналогичные действия необходимо повторить для точек $B$ и $C$. В результате мы найдем точки $B'$ и $C'$ такие, что $\vec{BB'} = \vec{a}$ и $\vec{CC'} = \vec{a}$.

Все построенные векторы $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$ и $\vec{CC'}$ будут равны между собой и равны исходному вектору $\vec{a}$. Это означает, что они все параллельны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Такая операция называется параллельным переносом вектора.

На чертеже показан исходный вектор $\vec{a}$ (синий), произвольные точки $A$, $B$, $C$ (красные) и результирующие векторы $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$, $\vec{CC'}$ (черные), которые равны вектору $\vec{a}$. Пунктирными линиями для наглядности показано, как построение связано с правилом параллелограмма.

Ответ: Чтобы отложить от точек $A$, $B$ и $C$ векторы, равные данному ненулевому вектору $\vec{a}$, необходимо для каждой точки (например, для $A$) построить точку-конец вектора ($A'$) так, чтобы полученный вектор ($\vec{AA'}$) был сонаправлен вектору $\vec{a}$ и имел равную с ним длину. Практически это выполняется путем параллельного переноса вектора $\vec{a}$ так, чтобы его начало совпадало с точками $A$, $B$ и $C$ соответственно. Пример такого построения показан на рисунке выше.