Номер 737, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 737, страница 188.

Условие.

737 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, и точка $A$, не принадлежащая этим прямым. Требуется построить окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся прямых $l_1$ и $l_2$.

Анализ

1. Если окружность касается двух параллельных прямых ($l_1$ и $l_2$), то её центр должен быть равноудалён от этих прямых. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — это прямая $m$, параллельная данным и проходящая посередине между ними.

2. Радиус $R$ такой окружности равен половине расстояния между прямыми $l_1$ и $l_2$. Это расстояние постоянно для всех таких окружностей.

3. Так как искомая окружность должна проходить через точку $A$, то её центр $O$ должен быть удалён от точки $A$ на расстояние, равное радиусу $R$. То есть, $OA = R$. Геометрическое место точек $O$, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ должен принадлежать как прямой $m$, так и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$. Следовательно, центр $O$ является точкой их пересечения.

Построение

1. Нахождение прямой центров $m$ и радиуса $R$.
   • Выберем на прямой $l_1$ произвольную точку $P$.
   • Проведём через точку $P$ прямую, перпендикулярную $l_1$. Пусть она пересекает $l_2$ в точке $Q$.
   • Длина отрезка $PQ$ есть расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$. Радиус искомой окружности $R$ равен половине длины этого отрезка: $R = \frac{|PQ|}{2}$. Для построения этого радиуса, найдём середину отрезка $PQ$. Обозначим её $M$. Тогда $|PM| = R$.
   • Проведём через точку $M$ прямую $m$, параллельную $l_1$ (и $l_2$). Эта прямая $m$ является геометрическим местом центров окружностей, касающихся $l_1$ и $l_2$.
2. Нахождение центра (центров) искомой окружности.
   • Построим окружность с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$ (найденным на предыдущем шаге).
   • Эта окружность пересечёт прямую $m$ в двух точках (см. Исследование), которые мы обозначим $O_1$ и $O_2$. Эти точки и будут центрами искомых окружностей.
3. Построение искомых окружностей.
   • Строим окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$.
   • Строим окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $R$.

Обе построенные окружности проходят через точку $A$ (так как $|O_1A| = R$ и $|O_2A| = R$ по построению) и касаются прямых $l_1$ и $l_2$ (так как их центры лежат на срединной прямой $m$, а радиус равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$).

Исследование

Задача имеет решение, если окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ пересекает прямую $m$. Это произойдёт, если расстояние от точки $A$ до прямой $m$ (обозначим его $h$) не превышает радиус $R$, то есть $h \le R$.

Расстояние от прямой $m$ до каждой из прямых $l_1$ и $l_2$ равно $R$. Поскольку по условию точка $A$ не лежит ни на $l_1$, ни на $l_2$, она находится в полосе между ними. Это означает, что расстояние $h$ от точки $A$ до срединной прямой $m$ всегда строго меньше $R$ ($h < R$).

Следовательно, окружность с центром в $A$ радиуса $R$ всегда будет пересекать прямую $m$ в двух различных точках. Таким образом, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Задача всегда имеет два решения. Алгоритм построения описан выше.