Номер 730, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 730, страница 188.

Условие.

730 Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла $AOB$ и пересекающиеся в точке $C$ внутри угла. Рис. 239 Докажите, что около четырёхугольника $ACBO$ можно описать окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Согласно условию задачи, через точку $A$, расположенную на стороне угла $OA$, проведена прямая, перпендикулярная этой стороне. Аналогично, через точку $B$ на стороне $OB$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $OB$. Эти две прямые пересекаются в точке $C$. Таким образом, мы имеем следующие перпендикулярности: $AC \perp OA$ и $BC \perp OB$.

Из того, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой $OA$, следует, что угол, образованный этими прямыми, является прямым. Этот угол является внутренним углом четырёхугольника $ACBO$ при вершине $A$. Следовательно, мы можем записать:$\angle OAC = 90^\circ$.

Аналогично, из того, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $OB$, следует, что угол, образованный ими, также является прямым. Этот угол является внутренним углом четырёхугольника $ACBO$ при вершине $B$. Следовательно:$\angle CBO = 90^\circ$.

В четырёхугольнике $ACBO$ вершины $A$ и $B$ являются противоположными (так же как и вершины $C$ и $O$). Соответственно, углы $\angle OAC$ и $\angle CBO$ являются противоположными углами этого четырёхугольника.

Найдём сумму этих противоположных углов:$\angle OAC + \angle CBO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Согласно свойству вписанного четырёхугольника (критерию того, что четырёхугольник можно вписать в окружность), если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Поскольку в четырёхугольнике $ACBO$ сумма противоположных углов $\angle OAC$ и $\angle CBO$ равна $180^\circ$, мы можем сделать вывод, что около него можно описать окружность. Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как сумма противоположных углов $\angle OAC$ и $\angle CBO$ в четырёхугольнике $ACBO$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность.