Номер 732, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 732, страница 188.

Условие.

732. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из точки $M$ стороны $AC$ проведён перпендикуляр $MH$ к гипотенузе $AB$. Докажите, что углы $\angle MHC$ и $\angle MBC$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Гипотенузой является сторона $AB$. Точка $M$ лежит на катете $AC$. По условию, из точки $M$ к гипотенузе $AB$ проведен перпендикуляр $MH$, следовательно, $\angle MHB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $MHBC$. В этом четырехугольнике два угла, $\angle MCB$ (который совпадает с $\angle ACB$) и $\angle MHB$, являются прямыми. Оба эти угла опираются на один и тот же отрезок $MB$.

Согласно свойству, если две точки ($C$ и $H$) лежат по одну сторону от прямой ($MB$) и отрезок, соединяющий концы этой прямой, виден из этих точек под одним и тем же углом (в данном случае $90^\circ$), то все четыре точки ($M, H, B, C$) лежат на одной окружности. Отрезок $MB$ при этом является диаметром этой окружности.

В окружности, описанной около четырехугольника $MHBC$, углы $\angle MHC$ и $\angle MBC$ являются вписанными углами. Оба эти угла опираются на одну и ту же дугу $MC$.

По теореме о вписанных углах, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle MHC = \angle MBC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle MHC$ и $\angle MBC$ доказано.