Номер 734, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 734, страница 188.

Условие.

734 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть данный параллелограмм — $ABCD$.

Рассмотрим первое условие: в параллелограмм можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противолежащих сторон равны. Для параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$ это условие записывается в виде равенства: $AB + CD = BC + DA$ Подставив длины сторон, получаем: $a + a = b + b$ $2a = 2b$ $a = b$ Таким образом, все стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Рассмотрим второе условие: около параллелограмма можно описать окружность. Согласно свойству вписанного в окружность четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для параллелограмма $ABCD$ это означает, что: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. В любом параллелограмме противолежащие углы равны, то есть $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Подставим это в предыдущее равенство: $\angle A + \angle A = 180^\circ$ $2\angle A = 180^\circ$ $\angle A = 90^\circ$ Если у параллелограмма один угол прямой, то и все остальные его углы прямые. Следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником.

Итак, мы установили, что данный параллелограмм является одновременно ромбом (так как все его стороны равны) и прямоугольником (так как все его углы прямые). Единственной фигурой, удовлетворяющей обоим этим условиям, является квадрат.

Следовательно, если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.