Номер 729, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 729, страница 187.

Условие.

729* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (1).

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: A, B и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также через вершину C, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина C лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай (рис. 239, б). В этом случае $\angle C = \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{DAB} + \stackrel{\frown}{EF})$ (см. задачу 718), и, следовательно, $\angle C > \frac{1}{2}\stackrel{\frown}{DAB}$. Так как $\angle A = \frac{1}{2}\stackrel{\frown}{BED}$, то $\angle A + \angle C > \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{BED} + \stackrel{\frown}{DAB}) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Итак, мы получили, что $\angle A + \angle C > 180^\circ$. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно.

Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина C не может лежать вне круга.

Следовательно, вершина C лежит на окружности, что и требовалось доказать.

Рис. 239

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.