Номер 729, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 729, страница 187.

Условие.

729* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (1).

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: A, B и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также через вершину C, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина C лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай (рис. 239, б). В этом случае $\angle C = \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{DAB} + \stackrel{\frown}{EF})$ (см. задачу 718), и, следовательно, $\angle C > \frac{1}{2}\stackrel{\frown}{DAB}$. Так как $\angle A = \frac{1}{2}\stackrel{\frown}{BED}$, то $\angle A + \angle C > \frac{1}{2}(\stackrel{\frown}{BED} + \stackrel{\frown}{DAB}) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Итак, мы получили, что $\angle A + \angle C > 180^\circ$. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно.

Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина C не может лежать вне круга.

Следовательно, вершина C лежит на окружности, что и требовалось доказать.

Рис. 239

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Для определённости, пусть $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Докажем, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Через любые три вершины четырёхугольника, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. Проведём такую окружность через вершины A, B и D.

Теперь необходимо доказать, что четвёртая вершина C также лежит на этой окружности. Предположим обратное: вершина C не лежит на этой окружности. В таком случае точка C может находиться либо внутри круга, ограниченного этой окружностью, либо вне его.

1. Рассмотрим случай, когда точка C лежит внутри круга.

Продолжим луч BC до пересечения с окружностью в точке $C'$. Четырёхугольник $ABC'D$ является вписанным в окружность, так как все его вершины лежат на окружности. По свойству вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

По условию задачи, мы знаем, что $\angle A + \angle BCD = 180^\circ$.

Сравнивая эти два равенства, получаем, что $\angle BC'D = \angle BCD$.

Однако, рассмотрим треугольник $CDC'$. Угол $\angle BCD$ является для него внешним. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BC'D + \angle CDC'$.

Поскольку $\angle CDC'$ — это угол невырожденного треугольника, его мера строго больше нуля ($\angle CDC' > 0$). Следовательно, должно выполняться неравенство $\angle BCD > \angle BC'D$.

Мы пришли к противоречию, так как получили, что $\angle BC'D = \angle BCD$ и $\angle BCD > \angle BC'D$ одновременно. Это означает, что наше предположение неверно, и точка C не может лежать внутри круга.

2. Рассмотрим случай, когда точка C лежит вне круга.

Пусть отрезок BC пересекает окружность в точке $C'$. Тогда четырёхугольник $ABC'D$ вписан в окружность, и, следовательно, $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$.

Из условия $\angle A + \angle BCD = 180^\circ$ следует, что $\angle BC'D = \angle BCD$.

Однако, в треугольнике $CDC'$ угол $\angle BC'D$ является внешним. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BC'D = \angle BCD + \angle CDC'$.

Так как $\angle CDC' > 0$, отсюда следует, что $\angle BC'D > \angle BCD$.

Мы снова пришли к противоречию, поскольку получили $\angle BC'D = \angle BCD$ и $\angle BC'D > \angle BCD$. Следовательно, предположение о том, что точка C лежит вне круга, также неверно.

Поскольку точка C не может находиться ни внутри, ни вне окружности, проходящей через точки A, B и D, она обязана лежать на самой окружности. Таким образом, все четыре вершины четырёхугольника $ABCD$ лежат на одной окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность.